604. Примеры.

1) Простейшим и важнейшим примером криволинейных координат являются полярные координаты Они имеют наглядное геометрическое

истолкование, как полярный радиус-вектор и полярный угол, но могут быть введены и формально, с помощью известных соотношений:

Если значения и 0 откладывать по двум взаимно перпендикулярным осям, считая, скажем, — абсциссой, ординатой (при правой ориентации осей), то каждой точке полуплоскости по указанным формулам отвечает одна определенная точка на плоскости

Читателю наверное приходилось иметь дело с относящимися к этому случаю координатными линиями: прямым отвечают круги радиуса с центром в начале, а прямым отвечают лучи, исходящие из начала под углом к оси х (рис. 62).

Рис. 62.

Однако в данном случае формулы преобразования, вообще, не будут однозначно разрешимы: изменение величины угла на (где к — целое) не отразится на значениях х и у.

Для того чтобы получить все точки плоскости достаточно ограничиться значениями

Каждой точке отличной от начала, отвечает одно значение и одно значение 0 в указанных пределах. Но неустранимое нарушение однозначности соответствия связано с началом координат: точке отвечает на плоскости вся ось 0 (или, если угодно, отрезок ее от до

Рис. 63.

Рассмотрим на плоскости замкнутый прямоугольник или (рис. 63); легко видеть, что на плоскости ему отвечает замкнутый круг, описанный вокруг начала О радиусом Но весь контур этого круга отвечает одной лишь стороне упомянутого прямоугольника; сторонам (обеим!) отвечает один и тот же радиус О А круга; наконец, всей стороне отвечает лишь точка О. Здесь явно не соблюдены указанные в предыдущем п° условия!

Однако если сдвинуть сторону на малую величину а сторону то новому прямоугольнику будет отвечать на плоскости фигура полученная из круга удалением малого круга радиуса и сектора с центральным углом с соблюдением уже всех требований. При перемещении точки на плоскости по отрезкам соответствующая точка на плоскости опишет по порядку неполную окружность (радиуса отрезок неполную окружность (радиуса ) и отрезок Заметим попутно, что положительному обходу на плоскости отвечает положительный же обход на плоскости Якобиан в данном случае равен

он сохраняет (если исключить начало) положительный знак.

2) Рассмотрим преобразование плоскости в самое себя, определяемое формулами

( не равны одновременно нулю).

Если совместить оси то преобразование это имеет наглядное геометрическое истолкование. Так как

то ясно, что соответствующие точки лежат всегда на одном луче из начала, причем их расстояния от начала в произведении дают единицу.

Рис. 64.

Преобразование это называется инверсией. Оно однозначно обратимо:

(снова х и у не равны одновременно нулю).

Координатными линиями будут окружности, проходящие через начало:

центры которых лежат, соответственно, на осях х и у (рис. 64). При получается ось , а при — ось .

Квадрату на плоскости например, отвечает заштрихованная область на рис. 64. Направления обхода контуров здесь не совпадают.

Так как

то якобиан

3) Если исходить из формул преобразования

то при любых отсюда однозначно получаются х, у. Разрешая же эти формулы относительно найдем:

где знаки связаны условием Таким образом, каждой точке исключая начало, отвечают две точки симметричные относительно начала. Чтобы восстановить однозначность, можно, например, ограничиться верхней частью плоскости 6 (со включением положительной части оси 5, но без ее отрицательной части).

Рис. 65.

Рис. 66.

Координатными линиями здесь будут софокусные (с фокусом в начале) и соосные параболы (рис. 65):

Значению отвечает отрицательная часть оси х, а значению ее положительная часть, Якобиан

если исключить начало.

4) Иногда удобно наперед задаться сеткой координатных линий и по ним установить систему криволинейных координат.

Рассмотрим, например, два семейства парабол (рис. 66):

каждое из них в отдельности заполняет всю плоскость (если исключить оси координат).

Естественно ввести в качестве криволинейных координат. Из равенств имеем

Якобиан здесь равен

5) Будем исходить из семейства софокусных и соосных конических сечений

(эллипсов — при гипербол — при рис. 67).

Через каждую точку плоскости, не лежащую на осях, проходят один эллипс и одна гипербола из этого семейства. Действительно, левая часть получаемого из (6) уравнения

имеет знак при знак — при и снова знак при больших X. Следовательно, уравнение это имеет два положительных корня: один и другой это доказывает наше утверждение.

Если предыдущее уравнение рассматривать как квадратное уравнение относительно , то по известному свойству корней имеем

а отсюда легко выразить х и у через X и

Ограничиваясь первым координатным углом, мы должны сохранить здесь лишь положительные знаки. Числа X, можно рассматривать, как криволинейные координаты точек этого угла; их называют эллиптическими координатами. Координатными линиями в этом случае будут как раз исходные конические сечения.

Рис. 67.

Подчеркнем, что X изменяется от с до , а х — от 0 до с. Для крайних значений мы получим:

при — отрезок оси х от до

при — отрезок оси х от до

при — положительную часть оси у.

Наконец, легко вычислить якобиан: