587. Сведение двойного интеграла к повторному.

Продолжая трактовать двойной интеграл геометрически, как объем цилиндрического бруса, мы дадим здесь же указания относительно его вычисления путем сведения к повторному интегралу.

Во втором томе мы уже имели дело с задачей вычисления объема тела (V) по его поперечным сечениям [342]. Напомним относящуюся сюда формулу. Пусть тело ограничено плоскостями (рис. 34). Допустим, что сечение тела плоскостью, перпендикулярной к оси и отвечающей абсциссе имеет площадь Тогда объем тела, в предположении его существования, выразится формулой

Применим теперь эту формулу к вычислению объема цилиндрического бруса, о котором была речь в предыдущем п°. Начнем с простого случая, когда в основании бруса лежит прямоугольник (рис. 35).

Сечение бруса плоскостью есть криволинейная трапеция

Рис. 34.

Рис. 35.

Для нахождения ее площади спроектируем эту фигуру на плоскость мы получим конгруентную с ней трапецию (ибо проектирование происходит без искажения). Итак,

Но уравнение линии на плоскости очевидно, будет

Пользуясь известным выражением площади криволинейной трапеции в виде определенного интеграла, будем иметь

Так как наше рассуждение относится к любому сечению, то вообще для

Подставляя это значение в формулу (3), получим

Но мы имеем для объема V и выражение (2), следовательно,

— двойной интеграл приведен к повторному.

Аналогичный результат можно получить и для более общего случая, когда область (Р) на плоскости представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную двумя кривыми:

и двумя ординатами (рис. 36). Разница по сравнению с рассмотренным случаем состоит в следующем: раньше при любом фиксированном изменение у происходило в одном и том же промежутке а теперь этот промежуток

сам зависит от так что

Рис. 36.

Окончательно получим

Познакомив читателя с понятием двойного интеграла и с его вычислением в геометрической трактовке, мы перейдем теперь к более общему изложению вопроса с чисто аналитической точки зрения.