Применим теперь эту формулу к вычислению объема цилиндрического бруса, о котором была речь в предыдущем п°. Начнем с простого случая, когда в основании бруса лежит прямоугольник 
(рис. 35).
Сечение бруса плоскостью 
есть криволинейная трапеция 
Рис. 34.
Рис. 35.
Для нахождения ее площади спроектируем эту фигуру на плоскость 
мы получим конгруентную с ней трапецию 
(ибо проектирование происходит без искажения). Итак,
Но уравнение линии на плоскости 
очевидно, будет
Пользуясь известным выражением площади криволинейной трапеции в виде определенного интеграла, будем иметь
Так как наше рассуждение относится к любому сечению, то вообще для 
Подставляя это значение 
в формулу (3), получим
Но мы имеем для объема V и выражение (2), следовательно,
— двойной интеграл приведен к повторному.
Аналогичный результат можно получить и для более общего случая, когда область (Р) на плоскости 
представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную двумя кривыми:
и двумя ординатами 
(рис. 36). Разница по сравнению с рассмотренным случаем состоит в следующем: раньше при любом фиксированном 
изменение у происходило в одном и том же промежутке 
а теперь этот промежуток
сам зависит от 
так что
Рис. 36.
Окончательно получим
Познакомив читателя с понятием двойного интеграла и с его вычислением в геометрической трактовке, мы перейдем теперь к более общему изложению вопроса с чисто аналитической точки зрения.
(рис. 34). Допустим, что сечение тела плоскостью, перпендикулярной к оси 
и отвечающей абсциссе 
имеет площадь 
Тогда объем тела, в предположении его существования, выразится формулой
