544. Сведение к обыкновенному определенному интегралу.
Предположим, что на кривой (К) произвольно установлено направление (одно из двух возможных), так что положение точки М на кривой может быть определено дайной дуги 
отсчитываемой от начальной точки А. Тогда кривая (К) параметрически выразится уравнениями вида:
а функция 
заданная в точках кривой, сведется к сложной функции 
от переменной 
.
Если через 
обозначить значения дуги, отвечающие выбранным на кривой точкам деления 
то, очевидно, 
Обозначив через 
значения 
определяющие точки 
(причем, очевидно, 
), видим, что интегральная сумма для криволинейного интеграла
является в то же время интегральной суммой для обыкновенного определенного интеграла, так что сразу имеем:
причем существование одного из интегралов влечет за собой существование другого.
Эта непосредственность сведёния криволинейного интеграла первого типа к обыкновенному интегралу, разумеется, понижает его теоретическое значение, но методическое значение он все же сохраняет.
Интеграл, очевидно, существует, например, в случае непрерывности функции 
что мы будем впредь предполагать.
Пусть теперь простая кривая (К) задана произвольными параметрическими уравнениями
где функции 
непрерывны со своими производными 
. Тогда кривая заведомо спрямляема, и если возрастание дуги 
отвечает возрастанию параметра t, то
[248 (10)]. Заменяя переменную в интеграле (3) справа, сразу получим:
Таким образом, для вычисления криволинейного интеграла первого типа надлежит заменить в подинтегральной функции переменные х и у выражениями координат через параметр, а множитель 
— дифференциалом дуги, как функции параметра. Подчеркнем, что нижний предел определенного интеграла (4) должен быть меньше верхнего.
В случае кривой, заданной явным уравнением
формула (4) принимает вид:
Этому соотношению можно придать и другую форму. В предположении непрерывности функции 
вместе с ее производной 
кривая (К) в каждой точке будет иметь определенную касательную, не параллельную оси у. Обозначив через а угол касательной с осью х, получим:
Поэтому
В частности, так как, очевидно,
где через 
обозначена длина всей кривой 
то
Замечание. Формула (7) получена нами в результате формальных преобразований. Если бы мы определили длину дуги кривой, как предел периметра описанной (а не вписанной) ломаной, то это определение — в случае явного задания кривой — непосредственно привело бы к формуле (7). Предлагаем читателю самому убедиться в этом.
