Действительно, обозначив через
и М наименьшее и наибольшее значения функции
в промежутке
и считая
легко найдем такую часть
этого промежутка, в которой границами
служат числа
так что
Написав для промежутков
неравенства вида (23) и складывая их с предыдущими, получим взамен (23) более точные неравенства:
так что число
лежит строго между
а тогда найдется и
строго между а и
для которого
2) Используя формулу (11) п° 579, формулу интегрирования по частям и теорему о среднем для интегралов Стилтьеса [577; 582, 1°], очень легко наново установить вторую теорему о среднем для обыкновенных интегралов [306].
Итак, пусть
интегрируема (в смысле Римана),
монотонно возрастает в промежутке
Введем функцию
она, как мы знаем, будет непрерывна [305, 1 Г].
Теперь последовательно имеем
что и требовалось доказать.
Если
монотонно возрастает в строгом смысле, то на основании сделанного в 1) замечания можно точнее сказать относительно
3) Доказать, что, если в точке
одна из функций
непрерывна, в то время как другая в окрестности этой точки ограничена, то существование интегралов
и
влечет за собой существование и
[см. 576, 5].
С этой целью заметим, что, если при составлении стилтьесовой суммы а мы будем включать точку с в состав точек деления, то сумма а будет слагаться из двух аналогичных сумм для частичных промежутков
при
она будет стремиться к сумме интегралов
Пусть теперь точка с не входит в число точек деления. Присоединяя к ним точку с, мы от а перейдем к новой сумме
, про которую мы уже знаем, что при
она имеет указанный предел. Таким образом, достаточно показать, что разность
будет вместе с X стремиться к 0.
Пусть точка с попадает в промежуток
тогда сумма а отличается от суммы а лишь тем, что вместо слагаемого
в ней имеется два слагаемых:
где
выбираются произвольно под условиями
Положив для упрощения
с, сведем последнее выражение к
так что
Когда
то один из множителей правой части бесконечно мал, в то время как второй ограничен; следовательно,
что и требовалось доказать.
4) Если обе функции
оказываются разрывными в одной и той же точке
то интеграл Стилтьеса
заведомо не существует.
Для доказательства будем различать два случая. Пусть сначала
и пределы
не равны. Тогда при построении суммы Стилтьеса мы точку с не станем вводить в число точек деления; пусть, скажем,
Выбрав один раз
, а другой раз взяв с в качестве составим две суммы а и 5, разность которых сведется к выражению (29). Сближая точки деления, будем иметь
Кроме того, точку
можно выбирать так, чтобы и разность
была по абсолютной величине большей некоторого постоянного положительного числа. Тогда разность
не стремится к 0, так что интеграл существовать не может.
Если же
но их общее значение отлично от
[«устранимый разрыв»] , то, наоборот, включим с в число точек деления; пусть
Если
имеет, например, разрыв в точке
справа, то, как и только что, составим две суммы
, разнящиеся лишь выбором
для
точка взята произвольно между
, а для
в качестве взята с. Попрежнему имеем (29), и рассуждение завершается аналогично.
Упражнения 3) и 4) проливают свет на тот замечательный факт, о котором говорилось в конце п° 576.
5) Пусть
непрерывна,
имеет ограниченное изменение в промежутке
Опираясь на оценку (25), доказать непрерывность интеграла Стилтьеса
по переменному верхнему пределу х в точке
где функция
непрерывна.
Заключение сразу вытекает из неравенства
если принять во внимание, что в точке
должна быть непрерывна и
6) Если 5 есть класс непрерывных в промежутке
функций, а
— класс функций с ограниченным изменением в этом промежутке, то, как известно, каждая функция одного класса интегрируема по каждой функции другого класса. Доказать, что ни один, на другой из этих классов не может быть расширен с сохранением упомянутого свойства.
Это, ввиду 4), почти очевидно относительно класса 5. Действительно, если функция
имеет точку разрыва
то она заведомо не интегрируема, например, по функции с ограниченным изменением
[573], имеющей ту же точку разрыва.
Пусть теперь
в промежутке
имеет бесконечное полное изменение; в этом предположении построим такую непрерывную функцию
для которой интеграл (30) не существует.
Если разделить промежуток
пополам, то хоть в одной из половин полное изменение функции
тоже будет бесконечно; разделим эту половину снова пополам и т. д. По этому методу определится некоторая точка с, в каждой окрестности которой
не имеет ограниченного изменения. Для простоты пусть
В таком случае легко построить последовательность возрастающих и стремящихся к
значений
—
так, чтобы ряд
расходился. Для этого ряда затем можно подобрать такую последовательность стремящихся к 0 чисел
чтобы и ряд
все же расходился [ср. 375, 4) и 7)]. Теперь определим функцию
полагая
а в промежутках
считая
линейной:
Очевидно,
будет непрерывна. В то же время, ввиду расходимости ряда (31), при
и
так что интеграл от
по
действительно не существует.
Доказанное утверждение можно сформулировать и так: если интеграл Стилтьеса (30) для данной функции
существует по любой
из то
необходимо принадлежит
аналогично, если этот интеграл по данной функции
существует для любой
из
то
необходимо принадлежит
7) В первой теореме о предельном переходе под знаком интеграла Стилтьеса [583, 1°] мы поставили требование, чтобы последовательность функций
стремилась к предельной функции
равномерно. Можно, однако, заменить это требование более общим условием, что эти функции ограничены в их совокупности:
[Только при этом нужно еще наперед предположить непрерывность предельной функции
При доказательстве достаточно рассмотреть случай, когда
возрастает в строгом смысле [см. замечание в п° 570]. Но для этого случая можно воспользоваться преобразованием, проведенным в п° 578 [см. (10)]:
и, имея дело уже с римановыми интегралами, просто применить теорему Арцела [526].
8) Укажем, в заключение, другую трактовку понятия интеграла Стилтьеса, связав его с понятием аддитивной функции от промежутка [ср. 348].
Пусть для каждой части
данного промежутка
определено число
причем, если промежуток
точкой
разложен на части
, то и
Тогда
есть аддитивная функция от переменного промежутка
. Предположим, что кроме нее для промежутка
задана и функция точки
. Разложим теперь, как обычно, промежуток
точками
на части
в каждой части произвольно выберем по точке и, наконец, составим сумму
Предел этой суммы при
и есть интеграл Стилтьеса, который естественно — учитывая процесс его построения — обозначить так:
Если определить вторую функцию точки
положив
то, ввиду аддитивности функции
во всех случаях
так что сумма (32) сведется к обыкновенной стилтьесовой сумме
а предел (33) — к обыкновенному интегралу Стилтьеса
Обратно, если существует последний интеграл, то, определив функцию от промежутка равенством (34) (причем легко проверить, что она окажется аддитивной), можно свести обыкновенный интеграл Стилтьеса к интегралу (33).