584. Примеры и дополнения.

1) Предполагая функцию монотонно возрастающей в строгом смысле, можно доказать относительно числа , фигурирующего в формуле (24), более точное утверждение:

Действительно, обозначив через и М наименьшее и наибольшее значения функции в промежутке и считая легко найдем такую часть этого промежутка, в которой границами служат числа так что

Написав для промежутков неравенства вида (23) и складывая их с предыдущими, получим взамен (23) более точные неравенства:

так что число

лежит строго между а тогда найдется и строго между а и для которого

2) Используя формулу (11) п° 579, формулу интегрирования по частям и теорему о среднем для интегралов Стилтьеса [577; 582, 1°], очень легко наново установить вторую теорему о среднем для обыкновенных интегралов [306].

Итак, пусть интегрируема (в смысле Римана), монотонно возрастает в промежутке Введем функцию

она, как мы знаем, будет непрерывна [305, 1 Г].

Теперь последовательно имеем

что и требовалось доказать.

Если монотонно возрастает в строгом смысле, то на основании сделанного в 1) замечания можно точнее сказать относительно

3) Доказать, что, если в точке одна из функций непрерывна, в то время как другая в окрестности этой точки ограничена, то существование интегралов и влечет за собой существование и [см. 576, 5].

С этой целью заметим, что, если при составлении стилтьесовой суммы а мы будем включать точку с в состав точек деления, то сумма а будет слагаться из двух аналогичных сумм для частичных промежутков при она будет стремиться к сумме интегралов

Пусть теперь точка с не входит в число точек деления. Присоединяя к ним точку с, мы от а перейдем к новой сумме , про которую мы уже знаем, что при она имеет указанный предел. Таким образом, достаточно показать, что разность будет вместе с X стремиться к 0.

Пусть точка с попадает в промежуток тогда сумма а отличается от суммы а лишь тем, что вместо слагаемого

в ней имеется два слагаемых:

где выбираются произвольно под условиями Положив для упрощения с, сведем последнее выражение к

так что

Когда то один из множителей правой части бесконечно мал, в то время как второй ограничен; следовательно, что и требовалось доказать.

4) Если обе функции оказываются разрывными в одной и той же точке то интеграл Стилтьеса

заведомо не существует.

Для доказательства будем различать два случая. Пусть сначала и пределы не равны. Тогда при построении суммы Стилтьеса мы точку с не станем вводить в число точек деления; пусть, скажем, Выбрав один раз , а другой раз взяв с в качестве составим две суммы а и 5, разность которых сведется к выражению (29). Сближая точки деления, будем иметь

Кроме того, точку можно выбирать так, чтобы и разность была по абсолютной величине большей некоторого постоянного положительного числа. Тогда разность не стремится к 0, так что интеграл существовать не может.

Если же но их общее значение отлично от [«устранимый разрыв»] , то, наоборот, включим с в число точек деления; пусть Если имеет, например, разрыв в точке справа, то, как и только что, составим две суммы , разнящиеся лишь выбором

для точка взята произвольно между , а для в качестве взята с. Попрежнему имеем (29), и рассуждение завершается аналогично.

Упражнения 3) и 4) проливают свет на тот замечательный факт, о котором говорилось в конце п° 576.

5) Пусть непрерывна, имеет ограниченное изменение в промежутке

Опираясь на оценку (25), доказать непрерывность интеграла Стилтьеса

по переменному верхнему пределу х в точке где функция непрерывна.

Заключение сразу вытекает из неравенства

если принять во внимание, что в точке должна быть непрерывна и

6) Если 5 есть класс непрерывных в промежутке функций, а — класс функций с ограниченным изменением в этом промежутке, то, как известно, каждая функция одного класса интегрируема по каждой функции другого класса. Доказать, что ни один, на другой из этих классов не может быть расширен с сохранением упомянутого свойства.

Это, ввиду 4), почти очевидно относительно класса 5. Действительно, если функция имеет точку разрыва то она заведомо не интегрируема, например, по функции с ограниченным изменением [573], имеющей ту же точку разрыва.

Пусть теперь в промежутке имеет бесконечное полное изменение; в этом предположении построим такую непрерывную функцию для которой интеграл (30) не существует.

Если разделить промежуток пополам, то хоть в одной из половин полное изменение функции тоже будет бесконечно; разделим эту половину снова пополам и т. д. По этому методу определится некоторая точка с, в каждой окрестности которой не имеет ограниченного изменения. Для простоты пусть

В таком случае легко построить последовательность возрастающих и стремящихся к значений

— так, чтобы ряд

расходился. Для этого ряда затем можно подобрать такую последовательность стремящихся к 0 чисел чтобы и ряд

все же расходился [ср. 375, 4) и 7)]. Теперь определим функцию полагая

а в промежутках считая линейной:

Очевидно, будет непрерывна. В то же время, ввиду расходимости ряда (31), при и

так что интеграл от по действительно не существует.

Доказанное утверждение можно сформулировать и так: если интеграл Стилтьеса (30) для данной функции существует по любой из то необходимо принадлежит аналогично, если этот интеграл по данной функции существует для любой из то необходимо принадлежит

7) В первой теореме о предельном переходе под знаком интеграла Стилтьеса [583, 1°] мы поставили требование, чтобы последовательность функций стремилась к предельной функции равномерно. Можно, однако, заменить это требование более общим условием, что эти функции ограничены в их совокупности:

[Только при этом нужно еще наперед предположить непрерывность предельной функции

При доказательстве достаточно рассмотреть случай, когда возрастает в строгом смысле [см. замечание в п° 570]. Но для этого случая можно воспользоваться преобразованием, проведенным в п° 578 [см. (10)]:

и, имея дело уже с римановыми интегралами, просто применить теорему Арцела [526].

8) Укажем, в заключение, другую трактовку понятия интеграла Стилтьеса, связав его с понятием аддитивной функции от промежутка [ср. 348].

Пусть для каждой части данного промежутка определено число причем, если промежуток точкой разложен на части , то и

Тогда есть аддитивная функция от переменного промежутка . Предположим, что кроме нее для промежутка

задана и функция точки . Разложим теперь, как обычно, промежуток точками

на части в каждой части произвольно выберем по точке и, наконец, составим сумму

Предел этой суммы при и есть интеграл Стилтьеса, который естественно — учитывая процесс его построения — обозначить так:

Если определить вторую функцию точки положив

то, ввиду аддитивности функции во всех случаях

так что сумма (32) сведется к обыкновенной стилтьесовой сумме

а предел (33) — к обыкновенному интегралу Стилтьеса

Обратно, если существует последний интеграл, то, определив функцию от промежутка равенством (34) (причем легко проверить, что она окажется аддитивной), можно свести обыкновенный интеграл Стилтьеса к интегралу (33).