3°. При любом 
величина
при 
стремится к нулю.
Функцию Ф, удовлетворяющую этим условиям, для краткости будем называть положительным ядром.
Лемма. Если 
есть положительное ядро, 
— произвольная, абсолютно интегрируемая функция, для которой существует предел 
то
Доказательство. Ввиду 2°,
вычитая это равенство почленно из (1), получим!
Задавшись произвольным числом 
возьмем теперь 
так, чтобы при 
было
и разобьем предшествующий интеграл на сумму двух интегралов:
Для первого из них, принимая во внимание 1° и 2°, сразу получаем оценку:
и притом независимо от X. С другой стороны,
В силу 
так что для значений X, достаточно близких к 
будет 
а вместе с этим и
что и требовалось доказать.
К сказанному сделаем еще такое дополнение. Предположим, что функция 
кроме переменной t, зависит еще от одной переменной 
но при постоянном х удовлетворяет прежним условиям. Тогда, если 
равномерно ограничена при всех t и 
и 2) стремление 
осуществляется равномерно относительно х, то и интеграл
при 
стремится к пределу 
равномерно относительно х.
Действительно, в силу 2) число 
, о котором была речь в предшествующем рассуждении, можно выбрать независимо от х. Далее, так как, в силу 1),
то неравенство (2) можно заменить таким:
где справа уже нет никакой зависимости х. Отсюда ясно, что для значений 
, достаточно близких к 
неравенство 
с ним и неравенство
будет выполняться сразу для всех значений х, что требовалось доказать.
. Областью изменения параметра пусть будет некоторое множество 
имеющее точку сгущения 
конечную или нет. Относительно функции 
предположим, что она определена для значений t в [0, а] и значений 
из 
, и при постоянном X интегрируема по 
в собственном смысле. Кроме того, наложим на функцию 
следующие три требования:
из 
,
