565. Примеры.

1) Будет ли криволинейный интеграл

по любому замкнутому контуру равен нулю?

Ответ утвердительный, так как подинтегральное выражение явно представляет собой полный дифференциал от функции

2) Не прибегая к условию (А), выяснить, зависит ли от пути интегрирования интеграл

Ответ: зависит (вообще говоря), ибо подобный же интеграл по непересекающему себя замкнутому контуру выражает удвоенную площадь ограниченной этим контуром области [551] и, следовательно, отличен от 0.

3) Установить существование первообразной и найти ее для следующих дифференциальных выражений:

Решение. С помощью условия интегрируемости выясняется, что в случаях (а), (б), (г) мы имеем точный дифференциал, а в случае (в) нет.

(а) По формуле (8), полагая имеем

То же получается и по формуле (7):

(б) Выгодно, взяв вычислять по формуле (8), ибо тогда первый интеграл обратится в нуль:

(г) По любой из указанных формул получим:

4) Доказать, что условие равносильно тождеству

(в предположении непрерывности функций

5) Иногда разыскание первообразной (если условие интегрируемости выполнено) оформляют иначе, чем это сделано в 558. Покажем это на примере 3 (а).

Из условия

интегрируя по х, найдем для Ф выражение с точностью до «постоянной интегрирования». Эта последняя не зависит от х, по которому мы интегрировалиг но может зависеть от «параметра» поэтому мы возьмем ее в виде . Итак,

Условие

дает нам, при подстановке, вместо Ф его выражения

откуда Окончательно

6) Если тот же прием применить к примеру 3) (в), не обращая внимания на нарушение условия интегрируемости, то для определения получим условие

Оно явно противоречиво, ибо справа стоит выражение, содержащее х, в то время как у от х не зависит!

7) Интересно в общем виде выяснить, какую роль в осуществлении указанного приема играет условие интегрируемости.

Интегрируя по х равенство

найдем, как и в частном примере,

Второе равенство

даст затем для определения условие

Если последнее выражение фактически от х не зависит (т. е. при у = const не меняется с изменением х), то простая квадратура под» приводит к выражению для . Если же выражение (18) содержит х, то полученное для условие противоречиво, ибо не должно зависеть от х. Таким образом, успех зависит исключительно от того, свободно ли от х или нет выражение (18), а это проще всего установить по тому, обращается ли в нуль или нет частная производная от выражения (18) по х. Но производная эта равна таким образом, выполнение условия (А), и только оно, гарантирует

Рис. 28.

8) Какому условию должна удовлетворять функция чтобы выражение

было точным дифференциалом?

Ответ:

9) Вывести формулы (7) и (8) п° 558 для первообразной, воспользовавшись выражением первообразной через криволинейный интеграл [556 (4)] и выбрав в качестве пути интегрирования один раз ломаную а другой раз (рис. 28).

10) Чтобы дать другой пример применения общей формулы (4) п° 556 для разыскания первообразной, решим наново по этой формуле задачу 3) (а), взяв в качестве пути интегрирования прямолинейный отрезок, соединяющий начало координат с произвольной точкой плоскости (мы иначе обозначаем ее координаты, чтобы не путать их с координатами х, у переменной точки пути интегрирования).

В интеграле

нужно у заменить на (ибо как раз и будет уравнение пути интегрирования) и тем свести дело к вычислению обыкновенного определенного интеграла по х от 0 до х. В результате получим

что с точностью до обозначений совпадает с найденным выше выражением.

11) Установить область, в которой выражение

является полным дифференциалом, и найти первообразную для этой области. Решение. Имеем (при ):

причем в первом случае знак плюс или минус берется в соответствии со знаком у. Таким образом, условие интегрируемости выполняется лишь для .

Ограничиваясь, в силу этого, верхней полуплоскостью, воспользуемся для восстановления первообразной тем же приемом, что и в 10), но уравнения прямолинейного отрезка возьмем в параметрической форме:

Тогда

12) Положим

Проверить выполнение условия (А) и найти циклическую постоянную, отвечающую особой точке (0, 0).

Указание. Проще всего вычислить криволинейный интеграл по эллипсу

ибо тогда

сведется [551 (10)] попросту к площади этого эллипса, которая нам известна [339, 6)]. Ср. 549, 9).

13) Если соблюдено условие интегрируемости, криволинейный интеграл иной раз может оказаться не зависящим от пут и, а первообразная функция однозначной — даже при наличии особой точки! Пример: для выражения

имеющего особой точкой начало координат, первообразной будет, например, функция однозначная и непрерывная вместе с производными во всей плоскости (исключая начало). Читатель легко уяснит себе что это связано с фактом обращения в нуль циклической постоянной, отвечающей началу.

14) Проинтегрировать дифференциальное выражение

Решение. Легко проверяются «условия интегрируемости»:

Вычисление проведем по формуле, аналогичной формуле (17), но с перестановкой ролей и полагая при этом Тогда сохранится лишь один из трех интегралов, и мы сразу найдем: