§ 4. Замена переменных в двойном интеграле

603. Преобразование плоских областей.

Предположим, что нам даны две плоскости, отнесенные одна — к прямоугольным осям х и у, а другая — к таким же осям Рассмотрим в этих плоскостях две замкнутые области: область (D) на плоскости и область (Д) на плоскости Каждая из этих областей может быть и неограниченной, в частности может охватывать и всю плоскость. Контур или границу области (если область не охватывает всей плоскости) мы будем предполагать простой кусочно-гладкой кривой; обозначим его символом для области (D) и символом для области (Д) (рис. 61).

Рис. 61.

Допустим, что в области (Д) дана система непрерывных функций:

которая каждой точке области (Д) относит одну определенную точку области (D), причем ни одна точка из (D) не будет пропущена, так что каждая такая точка отнесена хоть одной точке из (Д). Если различным точкам отвечают различные же точки (что мы впредь и будем предполагать), так что каждая точка отнесена лишь одной точке то формулы (1) однозначно разрешимы относительно Переменные в свою очередь являются однозначными функциями от х, у в области

Таким образом, между областями (D) и (Д) устанавливается взаимно однозначное или одно-однозначное соответствие. Говорят также, что формулы (1) осуществляют преобразование области (Д) в область (D), а формулы (1а) дают обратное преобразование области (D) в область (Д).

Если названные области заполняют соответствующие плоскости, то мы имеем дело с преобразованием одной плоскости в другую. Наконец, если обе плоскости совпадают, т. е. если точки рассматриваются как точки одной и той же плоскости, то налицо преобразование плоскости в самое себя.

Мы будем предполагать, далее, что функции (1) и (1а) не только непрерывны, но и имеют непрерывные частные производные (первого порядка). Тогда, как известно [п° 203, (4)],

так что оба функциональных определителя отличны от нуля и, по непрерывности, сохраняют постоянный знак.

Из того факта, что определитель

отличен от нуля в области (Д), уже следует, что внутренней точке области (Д) отвечает в силу формул (1) внутренняя же точка области ибо — по теореме о существовании неявных функций [п° 208] — этими формулами в целой окрестности точки переменные и определяются как однозначные функции от и у. Аналогично, внутренней точке области (D) отвечает всегда внутренняя точка области (Л). Отсюда уже ясно, что точкам контура (2) отвечают именно точки контура и обратно.

Если взять в области (Д) простую кусочно-гладкую кривую (Л), то с помощью преобразования (1) она перейдет в подобную же кривую в области Действительно, пусть уравнения кривой

причем (ограничиваясь гладким куском кривой) можно функции считать имеющими непрерывные производные не обращающиеся одновременно в нуль. Подставляя эти функции в формулы преобразования (1), мы получим параметрические уравнения соответствующей кривой

Легко видеть, что эти функции также имеют непрерывные производные

которые к тому же не могут одновременно обратиться в нуль, так что особых точек на кривой нет. Действительно, в противном случае, ввиду неравенства нулю определителя из (5) следовало бы, что одновременно что невозможно.

Если точка на плоскости описывает замкнутый контур , скажем, в положительном направлении, то соответствующая точка опишет также некоторый замкнутый же контур на плоскости но направление его может оказаться как положительным, так и отрицательным. Вопрос этот зависит, как мы увидим ниже [606, 1°], от знака якобиана (2).

Задание пары значений переменных из области однозначно определяет некоторую точку в области (D) на плоскости (и обратно). Это дает основание и числа называть координатами точек области По сути дела, уравнения (1) дают нам параметрическое представление плоской фигуры являющееся частным случаем параметрического представления поверхностей, о котором уже была речь [228].

Как и там, кривую, составленную из точек области которых одна из координат сохраняет постоянное значение, называют координатной линией. Например, полагая в мы получим параметрическое представление координатной линии:

(роль параметра здесь играет Неявное уравнение той же линии получим, полагая во втором из уравнений (1а):

В связи с тем, что координатные линии, вообще говоря, будут кривыми, числа характеризующие положение точки на плоскости и в этом случае (как и в случае кривой поверхности) называют криволинейными координатами точки.

Придавая координате различные (возможные для нее) постоянные значения, мы получим целое семейство координатных линий на плоскости Фиксируя значение координаты Е, мы получим другое семейство координатных линий. При наличии взаимно однозначного соответствия между рассматриваемыми областями различные линии одного и того же семейства не пересекаются между собой, и через любую точку области (D) проходит по одной линии из каждого семейства.

Вся сетка координатных линий на плоскости является изображением сетки прямых на плоскости (рис. 61).