641. Приложение формулы Стокса к исследованию криволинейных интегралов в пространстве.

Пусть в открытой области (Г) заданы функции непрерывные со своими производными

С помощью формулы Стокса легко установить условия, необходимые и достаточные для того, чтобы обращался в нуль интеграл

взятый по любому простому (т. е. не пересекающему себя) замкнутому кусочно-гладкому контуру лежащему в (7).

Впрочем, для того чтобы возможно было использовать формулу Стокса, нужно наперед наложить на трехмерную область (7), к которой относятся наши рассмотрения, естественное ограничение. Именно, нужно потребовать, чтобы, каков бы ни был простой замкнутый кусочно-гладкий контур в области (Т), на него можно было «натянуть» кусочно-гладкую (самонепересекающуюся) поверхность имеющую своим контуром и также целиком содержащуюся в (Г). Это свойство аналогично свойству односвязности плоской области; при наличии его пространственную область (Г) также называют («поверхностно») односвязной. Упомянем для примера, что тело, ограниченное двумя концентрическими сферическими поверхностями, будете этом смысле односвязным, а тор нет.

Пусть же область (Т) будет (поверхностно) односвязной. Натянув на контур как сказано, поверхность заменим по формуле Стокса криволинейный интеграл (25) поверхностным интегралом

Для обращения его в нуль, очевидно, достаточны условия

Эти условия в то же время и необходимы, в чем легко убедиться (наподобие п° 601), если рассматривать плоские фигуры лежащие в плоскостях, параллельных поочередно той или иной из координатных плоскостей.

Читатель видит, что мы использовали здесь формулу Стокса совершенно так же, как в п° 601 с аналогичными целями была использована формула Грина.

Легко доказать, что те же условия (Б) будут необходимы и достаточны для того, чтобы интеграл

не зависел от формы кривой соединяющей любые две точки А и В области (Т), в предположении, конечно, что эта область поверхностно односвязна.

Необходимость. Если предположить интеграл (26) независящим от пути, то (как и в п° 661) отсюда следует обращение в нуль интеграла (25) по простому замкнутому контуру а значит и выполнение условия (Б).

Достаточность. Из (Б) вытекает обращение в нуль интеграла (25) по простому замкнутому контуру Отсюда (как и в 561) легко получается равенство

если только кривые не имеют общих точек, кроме А и В. Если же это не так, и взятые кривые пересекаются, то здесь вопрос оказывается более простым, чем в плоском случае: в связной пространственной области (7) всегда можно взять такую третью кривую которая уже не пересекалась бы ни с одной из прежних. Тогда

откуда и следует (27).

С этим исследованием можно связать и вопрос о том, будет ли дифференциальное выражение

полным дифференциалом от некоторой однозначной функции трех переменных. Необходимость условий (Б), для того чтобы это было так, проверяется непосредственно, см. п° 564. Но в то

время как там достаточность условий (Б) была установлена лишь для случая, когда основная область (Т) есть прямоугольный параллелепипед, теперь нетрудно сделать это и в общем случае (поверхностно) односвязной области. Первообразная может быть написана сразу в виде криволинейного интеграла

который — при соблюдении условий (Б) — не зависит от пути. Итак, для области (Т) указанного типа, условия (Б) оказываются необходимыми а достаточными для того, чтобы выражение (28) было точным дифференциалом.