610. Аналогия с простым интегралом. Интеграл по ориентированной области.

Формула замены переменных в двойном интеграле весьма сходна с формулой замены переменной в обыкновенном определенном интеграле:

Однако в формуле (22) отсутствует знак абсолютной величины, что уже несколько нарушает аналогию. Это расхождение объясняется просто. Обыкновенный определенный интеграл берется по ориентированному промежутку 302: ведь а может быть и меньше и больше равно как и а может быть и меньше и больше р. В то же время двойной интеграл мы до сих пор рассматривали лишь по неориентированной области.

Можно, однако, и в случае двойного интеграла перейти к рассмотрению ориентированных областей. Ориентация области создается тем, что ее контуру придается определенное направление обхода — положительное или отрицательное (548); одновременно такое же направление обхода придается и всем замкнутым простым; кривым в пределах области. Если выбирается положительное направление обхода, то говорят, что область положительно ориентирована, в противном же случае — что она отрицательно ориентирована.

Естественно условиться для ориентированной области в качестве площади брать ее обыкновенную площадь со знаком плюс,

если область ориентирована положительно, и со знаком минус — в противном случае. При разложении области (D) на части эти части, как указывалось, ориентируются согласно с ориентацией всей области; соответственным образом снабжаются знаками и их площади.

Теперь для ориентированной области (D) можно по образцу п° 688 построить понятие двойного интеграла

причем этот интеграл совпадает с определенным раньше, если область имеет положительную ориентацию, и отличается от него знаком в случае отрицательной ориентации.

Эта новая точка зрения на двойной интеграл позволяет прежде всего формулу (11) п° 606, выражающую площадь в криволинейных координатах, переписать без знака абсолютной величины при якобиане:

если только ориентацию областей (D) и производить согласованно. Это прямо следует из замечания 606, 1°.

При том же. условии формулу (12) п° 606 можно написать также без знака абсолютной величины:

и в такой форме она служит естественным обобщением формулы Лагранжа.

Наконец, теперь и общая формула (21) может быть написана для согласованно ориентированных областей (D) и в виде

Таким образом, стоило лишь поставить простые и двойные интегралы в одинаковые условия, чтобы аналогия стала полной!

Впрочем, в дальнейшем изложении мы все же вернемся к обычной точке зрения и будем рассматривать двойные интегралы, распространенные на неориентированные области.