Предположим, что
и докажем, что
непрерывна в точке
справа. С этой целью, взяв произвольное
разложим промежуток
точками
на части так, чтобы оказалось
Опираясь на непрерывность функции
можно предположить при этом, что
уже настолько близко к
что выполняется неравенство
(в случае надобности, можно было бы вставить еще одну точку деления, отчего сумма
разве лишь увеличилась бы). Тогда из (12) следует, что
стало быть,
или, наконец,
Отсюда и подавно
следовательно, ввиду произвольности
Аналогично доказывается, что (при
)
т. е. что
в точке
непрерывна слева.
Из доказанной теоремы вытекает такое следствие:
10°. Непрерывная функция с ограниченным изменением представима в виде разности двух непрерывных же возрастающих функций.
В самом деле, если вернуться к доказательству предложения 7° (в части, относящейся к необходимости) и в качестве монотонной мажоранты взять именно функцию
непрерывную в силу 9°, то и получится требуемое разложение.
В заключение покажем, что для непрерывной функции в определении полного изменения:
supremum можно заменить пределом как в том случае, когда полное изменение конечно, так и в том, когда оно бесконечно.
11°. Пусть функция
непрерывна в конечном промежутке
Разложив этот промежуток. на части точками
и составив сумму
будем иметь
где
.
Как уже отмечалось, сумма
не убывает от добавления новой точки деления
. С другой стороны, если эта новая точка попадает в промежуток между
то увеличение суммы
проистекающее из появления этой точки, не превосходит удвоенного колебания функции
в промежутке
Заметив это, возьмем какое-либо число
и найдем сумму V такую, что
Пусть эта сумма отвечает следующему способу деления:
Выберем теперь столь малое
что
лишь только
(это сделать можно ввиду равномерной непрерывности функции
). Докажем, что для любого способа деления, которому отвечает
будет
В самом деле, имея подобный способ деления (I), составим новый способ (II), получающийся из (I) добавлением всех точек
Если способу (II) отвечает сумма
то
С другой стороны, способ (II) получается из (I) путем (самое большее)
-кратного добавления по одной точке. Так как каждое добавление вызывает увеличение суммы
меньшее, чем
Отсюда, а также из (16) и (14), следует, что
Итак, при
выполнено (15); но, поскольку всегда
о действительно имеет место (13), что и требовалось доказать.