Предположим, что 
и докажем, что 
непрерывна в точке 
справа. С этой целью, взяв произвольное 
разложим промежуток 
точками
на части так, чтобы оказалось
Опираясь на непрерывность функции 
можно предположить при этом, что 
уже настолько близко к 
что выполняется неравенство 
(в случае надобности, можно было бы вставить еще одну точку деления, отчего сумма 
разве лишь увеличилась бы). Тогда из (12) следует, что
стало быть,
или, наконец,
Отсюда и подавно
следовательно, ввиду произвольности 
Аналогично доказывается, что (при 
)
т. е. что 
в точке 
непрерывна слева.
Из доказанной теоремы вытекает такое следствие:
10°. Непрерывная функция с ограниченным изменением представима в виде разности двух непрерывных же возрастающих функций.
В самом деле, если вернуться к доказательству предложения 7° (в части, относящейся к необходимости) и в качестве монотонной мажоранты взять именно функцию
непрерывную в силу 9°, то и получится требуемое разложение.
В заключение покажем, что для непрерывной функции в определении полного изменения:
supremum можно заменить пределом как в том случае, когда полное изменение конечно, так и в том, когда оно бесконечно.
11°. Пусть функция 
непрерывна в конечном промежутке 
Разложив этот промежуток. на части точками
и составив сумму
будем иметь
где 
.
Как уже отмечалось, сумма 
не убывает от добавления новой точки деления 
. С другой стороны, если эта новая точка попадает в промежуток между 
то увеличение суммы 
проистекающее из появления этой точки, не превосходит удвоенного колебания функции 
в промежутке 
Заметив это, возьмем какое-либо число
и найдем сумму V такую, что
Пусть эта сумма отвечает следующему способу деления:
Выберем теперь столь малое 
что
лишь только 
(это сделать можно ввиду равномерной непрерывности функции 
). Докажем, что для любого способа деления, которому отвечает 
будет
В самом деле, имея подобный способ деления (I), составим новый способ (II), получающийся из (I) добавлением всех точек 
Если способу (II) отвечает сумма 
то
С другой стороны, способ (II) получается из (I) путем (самое большее) 
-кратного добавления по одной точке. Так как каждое добавление вызывает увеличение суммы 
меньшее, чем 
Отсюда, а также из (16) и (14), следует, что
Итак, при 
выполнено (15); но, поскольку всегда
о действительно имеет место (13), что и требовалось доказать.
задана функция 
с ограниченным изменением. Если 
в некоторой точке 
непрерывна, то в этой же точке непрерывна и функция
