§ 4. Функции с ограниченным изменением

567. Определение функции с ограниченным изменением.

Настоящий параграф представляет некоторое отступление от основной линии этой главы. Он посвящен ознакомлению читателя с важным классом функций (указанным в заголовке), который был введен в науку Жорданом (С. Jordan). Этот класс функций будет играть основную роль в том обобщении понятия определенного интеграла, которым мы займемся в следующем параграфе. Впрочем, и во многих других вопросах математического анализа класс функций с ограниченным изменением имеет важное значение.

Пусть функция определена в некотором конечном промежутке где Разложим этот промежуток произвольным образом на части с помощью точек деления:

(подобно тому, как мы это делали при составлении интегральных или римановых сумм, устанавливая понятие определенного интеграла). Из абсолютных величин приращений функции, отвечающих отдельным частичным промежуткам, образуем сумму

Теперь весь вопрос в том, будет ли множество этих чисел, отвечающих различным способам дробления промежутка на части, ограничено сверху или нет.

Если суммы (1) в их совокупности ограничены сверху, то говорят, что функция в промежутке имеет ограниченное изменение (или ограниченную вариацию). При этом точную верхнюю границу этих сумм называют полным изменением (или полной вариацией) функции в указанном промежутке и обозначают символом

Можно применять это понятие и в случае функции не ограниченного изменения, но тогда полное изменение будет равно

По самому определению точной верхней границы, в обоих случаях, надлежаще выбирая подразделения промежутка можно достигнуть произвольной близости сумм к полному изменению Иными словами, можно выбрать такую последовательность подразделений, чтобы полное изменение служило пределом для последовательности соответствующих сумм

Иногда ставится вопрос об ограниченности изменения функции бесконечном промежутке, например, в промежутке Говорят, что функция имеет ограниченное изменение в промежутке если она является функцией с ограниченным изменением в любой его конечной части и полные изменения ограничены в их совокупности. Во всех случаях мы полагаем А

Отметим, что в этих определениях никакой роли не играет вопрос о непрерывности функции

Примером функции с ограниченным изменением в конечном или бесконечном промежутке может служить любая ограниченная монотонная функция. Если промежуток конечный, то это сразу следует из того, что

так что и . Для промежутка очевидно, будет

разумея под как обычно, предел

Дадим теперь пример непрерывной функции, которая, однако, не будет функцией с ограниченным изменением. Положим

и рассмотрим, например, промежуток [0, 1]. Если за точки деления этого промежутка принять точки

то, как легко убедиться,

и [см. 365, 1)]