Вычисляем внутренний интеграл:
Затем (снова с учетом четности)
Совершенно аналогично проводится и вычисление по формуле (6. 2) Вычислить
если область 
ограничена двумя параболами:
Рис. 42.
Рис. 43.
Решение. Полезно сделать чертеж хотя бы грубо, чтобы получить общее представление об области. Решая совместно уравнения парабол, находим точки их пересечения: (0, 0) и (1, 1) (рис. 43).
Если внешнее интегрирование производить по у, то промежутком изменения у будет, очевидно, [0,1]. Взяв произвольное значение у в этих пределах, видим по чертежу, что х изменяется от 
до 
По формуле (6,
Вычисляем внутренний интеграл:
а затем — и внешний:
3) Вычислить интеграл 
где (D) есть область, ограниченная осями координат и параболой 
(рис. 44).
Решение. Имеем:
4) Вычислить интеграл 
где (С) есть область, ограниченная прямыми 
и гиперболой 
Решение. Нанесем эти линии на чертеж (рис. 45). Совместным решением уравнений легко получить, что прямая 
пересекает прямую 
в точке (2, 2), а гиперболу 
— в точке 2, прямая же 
и гипербола (в пределах первого квадранта, 
и лежит рассматриваемая область) пересекаются в точке (1, 1).
Рис. 44.
Рис. 45.
Если остановиться для вычисления интеграла I на формуле (6), то внешнее интегрирование по 
придется произвести в промежутке [1, 2]. При фиксированном х в этом промежутке пределы изменения у суть 
Но
так что
В то время как в предыдущих примерах вычисление по обеим формулам (6) или (6 представлялось одинаково простым, в данном случае дело обстоит иначе: вычисление по формуле (6 здесь было бы сложнее. Тем не менее мы выполним его, ибо поучительно дать себе отчет в причине указанного обстоятельства.
Прямая, параллельная оси х, пересекает контур области в двух точках, так что формула (6 приложима. Но кривая, ограничивающая нашу область слева, — она отвечает кривой 
общей теории, — здесь состоит из двух частей: куска прямой и куска гиперболы, которые выражаются различными уравнениями. Иными словами, упомянутая функция 
задается различными формулами в различных частях промежутка 
изменения у.
Именно,
Справа область ограничена прямой 
Поэтому интегрирование по у удобнее разбить и представить 
в виде
Так как
то
С подобными обстоятельствами приходится считаться; из двух возможных путей вычисления двойного интеграла, естественно, выбирают более простой.
5) Вычислить интегралы:
где 
есть треугольник, ограниченный прямыми
— треугольник, ограниченный осями координат и прямою 
— треугольник, ограниченный прямыми
Указание. В случаях (а), (б) безразлично, какой из формул (6), (6 пользоваться; в случае же (в) удобнее пользоваться формулой (6) (почему? сделать чертеж!)
Ответ, 
6) Вычислить интеграл
распространенный на треугольник, который образован прямыми 
Решение. По формуле 
внутренний интеграл равен
и окончательно 
Можно было бы вести вычисления и по формуле (6, но в этом случае мы натолкнулись бы на более трудные квадратуры. Подобное обстоятельство также следует учитывать при выборе пути для вычисления.
В связи с трудностями, которые иной раз представляет расстановка пределов интегрирования в случае криволинейной области, полезны следующие упражнения:
7) Переменить порядок интегрирования в повторном интеграле [по формуле (9)]:
считая 
непрерывной функцией.
(а) Решение. Область интегрирования определяется совместными неравенствами:
Отсюда прежде всего ясно, что крайними значениями у будут 0 и 48. Решая же последние неравенства относительно х, при фиксированном у найдем, что х меняется от 
до 
Еще проще усмотреть этот результат из рис. 46, где изображена область, ограниченная прямой 
и параболой 
которые пересекаются в точках с абсциссами 0 и 4. Отметим, что по оси х взят другой масштаб, чем по оси у.
Ответ. 
Указание. Область интегрирования ограничена окружностью
Ответ. 
Рис. 46.
(в) Решение. Область интегрирования определяется совместными неравенствами:
откуда выясняются крайние значения для у: 0 и 3.
Решая последние неравенства, видим, что Но для 
предел 
уже выходит из промежутка [0, 1], которым во всяком случае ограничено изменение х. Следовательно, при 
переменная х изменяется от 
до 
, а при 
— от 
до 1.
Значительно проще этот результат получается геометрически, если сообразить, что область интегрирования есть треугольник, ограниченный прямыми 
(сделать чертеж!).
Ответ. Получаем сумму двух повторных интегралов:
Ответ. Получаем сумму трех повторных интегралов:
8) Записать в виде одного повторного интеграла выражение:
Ответ.
(Рекомендуется во всех случаях делать чертежи.)
9) Показать, что употребительная формула интегрального исчисления
выражающая площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью х, ординатами 
и кривою 
(где 0), является следствием очевидного равенства
Указание. Воспользоваться формулой (6).
10) Установить формулу
где 
есть произвольная функция, непрерывная в треугольнике 
, ограниченном прямыми 
Рис. 47.
Указание. См. рис. 47; воспользоваться формулой (9), т. е. приравнять оба повторных интеграла, к которым приводится двойной интеграл по области (Д).
Доказанная формула обычно связывается с именем Дирихле; она имеет различные приложения, особенно — в теории так называемых интегральных уравнений Вольтерра (G. Volterra).
11) С помощью формулы (10) легко доказать, что
Последовательное применение этой формулы приводит к результату:
который выше [511, 13)] был установлен другим путем.
12) Вычислить интеграл
в предположении, что 
Имеем по формуле (5)
Окончательно,
Эта формула принадлежит Дирихле.
13) Аналогично вычисляется более общий интеграл
в предположении, что 
Сначала, как и выше,
Затем внутренний интеграл преобразуем подстановкой 
в результате:
14) Вычислить интеграл, представляющий дальнейшее обобщение предыдущего:
(где 
и, кроме того, 
Переходя к повторному интегралу, получаем
а затем, после подстановки 
изменяем порядок интегрирований:
Для вычисления внутреннего интеграла воспользуемся уже известным результатом [534, 2)]. Тогда
и, снова прибегая к тому же результату, окончательно:
15) Пусть функции 
непрерывны в ограниченной замкнутой области (D), причем наименьшее и наибольшее значения функции 
пусть будут 
пусть 
означает функцию, непрерывную для 
.
Обозначим через 
интеграл
распространенный на ту часть области (D), в которой выполняется указанное внизу неравенство 
Тогда имеет место формула Каталана (Е. Catalan)
где интеграл справа понимается в смысле Стилтьеса.
Так как непрерывную функцию 
всегда можно рассматривать как разность двух положительных непрерывных функций, то при доказательстве этой формулы мы можем просто считать функцию 
положительной. Разложив произвольно промежуток 
на части:
соответственно этому разложим и предложенный интеграл (обозначим его через 
Мы воспользовались здесь обобщенной теоремой о среднем значении; 
есть некоторая точка области, где 
так что, полагая 
будем иметь мг 
Итак, окончательно,
В сумме справа узнаем сумму Стилтьеса. Переходя к пределу при 
установим требуемый результат:
Если для функции 
существует непрерывная (или хотя бы абсолютно интегрируемая) производная (а), то интеграл Стилтьеса заменяется обыкновенным:
16) Для примера покажем, как по методу Каталана, из элементарной формулы Дирихле 
может быть выведена более общая формула, принадлежащая Лиувиллю (J. Liouville).
Возьмем, в частности,
а за область (D) выберем треугольник 
Тогда по формуле Дирихле при 
и, воспользовавшись преобразованием Каталана, будем иметь
Это и есть формула Лиувилля.
17) Найти объем тела, ограниченного
(а) плоскостями 
цилиндром 
и гиперболическим параболоидом 
(в первом октанте);
(б) плоскостями 
и поверхностью 
(в) плоскостями 
параболическим цилиндром 
и параболоидом 
;
(г) плоскостями 
и эллиптическим цилиндром 
Ответ, 
18) То же для тела, ограниченного:
(а) эллиптическим цилиндром — 
и плоскостями 
(б) цилиндрами 
и плоскостью 
(в) частью поверхности 
вырезанной из нее плоскостями 
проекцией этой части на плоскость 
и проектирующим цилиндром.
Рис. 48.
Ответ, 
(если Р есть площадь эллипса; результат геометрически очевиден);
19) Найти объем V тела, вырезанного цилиндром 
из параболоида вращения 
Решение. Имеем:
Полагая 
в известной формуле
вычислим первообразную функцию 
а с ее помощью найдем внутренний интеграл:
Путем интегрирования по частям получим далее:
Наконец,
и
20) Найти объем V тела, вырезанного цилиндром 
из сферы 
(рис. 48)
Решение. Имеем:
где (Р) есть полукруг в первом квадранте плоскости 
ограниченный линиями 
Но
Интегрируя по частям, найдем:
С помощью, например, подстановки 
легко найти значение последнего интеграла:
так что
Далее, без труда найдем
так что, окончательно,
Замечание. Так как объем полусферы есть 
, то объем ее части, получающейся после удаления тела 
равен 
. Любопытно, что он выражается через радиус 
без привлечения каких бы то ни было иррациональностей.
21) Вычислить интегралы
где (А) есть область, ограниченная аркой циклоиды
и осью х.
Решение. Своеобразие этой задачи состоит в том, что контур области задан параметрическими уравнениями. Однако ордината у точки циклоиды представляет собой все же однозначную и непрерывную функцию абсциссы 
так что, переходя к повторному интегралу, по общей формуле имеем
Чтобы освободиться от неизвестной нам функции 
и вернуться к известным функциям, сделаем подстановку 
Тогда 
надлежит заменить на а 
и мы получим
Аналогично,
22) Вычислить интеграл
где область (В) ограничена осями координат и частью астроиды
Ответ, 
с центром в начале координат (рис. 42).
откуда 
Очевидно, 
есть уравнение верхней полуокружности, а 
является уравнением нижней полуокружности. Таким образом, при постоянном х из промежутка 
переменная у изменяется от 
до 
По формуле (6) (с учетом четности по 
подинтегральной функции)
