550. Приближение с помощью интеграла, взятого по ломаной.

Во многих случаях, имея дело с криволинейным интегралом, представляется удобным приблизиться к нему с помощью интеграла, взятого по ломаной. Такое приближение основывается на следующем предложении, которое нам не раз будет полезно.

Кривая (I), которая в нем упоминается, предполагается простой и незамкнутой. Она задается уравнениями вида (3), где функции и непрерывны вместе со своими производными; этим обеспечивается существование криволинейного интеграла в написанном ниже равенстве [547], а также спрямляемость самой кривой

Лемма. Пусть функции непрерывны в открытой области (Е), а — содержащаяся в ней кривая указанного класса. Если вписать в (L) ломаную (), то при стремлении к нулю наибольшей из ее сторон будем иметь

Достаточно остановиться на интегралах для

интегралов рассуждения вполне аналогичны. Пусть вписанная в ломаная имеет вершины в точках обозначим через значения x, в точке Задавшись произвольным числом можно звенья представить себе настолько малыми, чтобы 1) колебание непрерывной функции Р вдоль звена было и 2) интегральная сумма отличалась от своего предела тоже меньше, чем на е.

Имеем, очевидно,

и, с другой стороны,

так что

Но первое слагаемое справа разнится от интеграла меньше, чем на в [см. 2)], а второе по абсолютной величине не превосходит [см. 1)], т. е. и подавно где — длина кривой (I).

Итак, окончательно,

что и доказывает наше утверждение.

Замечание. Доказанное утверждение в некотором смысле может быть распространено и на случай замкнутой простой кривой (I), если разложить ее на две незамкнутые кривые и к каждой из последних в отдельности применить лемму. Предельный переход здесь ограничен требованием, чтобы в числе точек деления были две наперед фиксированные точки замечание в п° 548].