621. Выбор знака в формулах для направляющих косинусов нормали.

Дадим сейчас важное для дальнейшего приложение изложенной выше идеи о связи между выбором стороны поверхности и созданием на ней той или другой ориентации.

Рассмотрим вновь простую незамкнутую гладкую поверхность и выберем определенную ее сторону (а с нею — и ориентацию!). Пусть будет контур области (А) на плоскости а — соответствующий ему контур нашей поверхности. Допустим, что положительному обходу контура отвечает положительный же обход контура Тогда и для любых соответствующих друг другу контуров (X) в области (А) и (Г) на поверхности имеет место то же самое: положительный обход (X) влечет за собой положительный обход

При этих условиях для характеристики выбранной стороны поверхности в формулах (2) для направляющих косинусов нормали перед радикалом нужно взять знак плюс.

Для доказательства этого достаточно установить, что хоть в одной точке направление, определяемое этими формулами со знаком плюс, совпадает с нужным направлением нормали. Возьмем на поверхности какую-нибудь внутреннюю точку ей отвечает точка в области (А). Пусть в этой точке отличен от нуля, скажем, определитель

Тогда найдется столь малая окрестность точки на плоскости ограниченная контуром (X), что соответствующая ей окрестность точки на поверхности ограниченная контуром (Г), проектируется на плоскость взаимно однозначно. Обозначим контур этой проекции на плоскость через (k) (рис. 84).

Если в рассматриваемой точке и в "ее окрестности определитель то положительному обходу контура (X) отвечает положительный же обход (т. е. при выбранном расположении осей обход против часовой стрелки) контура [см. 606, 1)]. Как видно из чертежа, для того чтобы соответствующий этому обход контура на поверхности тоже казался происходящим против часовой стрелки, на него нужно смотреть сверху, так что нормаль в точке в этом случае должна быть направлена вверх, т. е. должна составлять с осью z острый угол. Это именно и имеет место по формулам - (2), если в них взять знак плюс, ибо при тогда и . Наоборот, при нормаль должна составлять с осью z тупой угол, что также осуществляется на деле при указанном выборе знака, ибо при

Рис. 84.

Если гладкая поверхность оказывается замкнутой и ограничивает некоторое тело [ср. 619, 3)], то для нее имеет место аналогичное обстоятельство. Допустим, что мы остановились на определенной стороне поверхности и что положительному обходу одного какого-нибудь контура в области отвечает положительный обход определяемого им контура (4) на поверхности если связать (4) с той областью на которая отвечает ограниченной контуром области на плоскости . В таком случае предложение, доказанное выше для случая незамкнутой поверхности, будет справедливо и теперь.