580. Примеры.

1) Вычислить по формуле (11) интегралы:

Решение,

Ответы: .

2) Вычислить по формуле (15) интегралы:

Решение, (а) Функция имеет скачок 1 при и скачок —2 при в остальных точках Поэтому

(б) Скачок 1 при при (значение функции при не влияет на результат); в прочих точках

Имеем:

3) Вычислить по формуле (15) интегралы:

где

Решение. Функция имеет скачки, равные 1, при Производная

Поэтому

Аналогично

4) Предположим, что вдоль отрезка оси х расположены массы, как сосредоточенные в отдельных точках, так и распределенные непрерывно. Не делая различия между ними, обозначим для через сумму всех масс, расположенных в промежутке сверх того, положим, Очевидно, — монотонно возрастающая функция. Поставим себе задачей найти статический момент этих масс относительно начала координат. Разобьем промежуток на части точками

На отрезке при содержится, очевидно, масса Точно так же на отрезке содержится масса Считая массу во всех случаях сосредоточенной, например, на правом конце промежутка, получим для искомого статического момента приближенное выражение

При стремлении к 0 всех в пределе придем к точному результату:

Можно было бы и здесь, как это было разъяснено во втором томе по отношению к обыкновенному определенному интегралу [348], сначала установить «элементарный статический момент отвечающий отрезку оси от х до , а затем «просуммировать» эти элементы.

Аналогично для момента инерции тех же масс относительно начала найдем формулу

Важно подчеркнуть, что интеграл Стилтьеса дал возможность объединить одной интегральной формулой разнородные случаи непрерывно распределенных и сосредоточенных масс.

Пусть непрерывно распределенные массы имеют линейную плотность кроме них пусть в точках с расположены сосредоточенные массы . Тогда, исключая эти точки, функция имеет производную

В каждой же точке функция испытывает скачок, равный именно массе , в этой точке сосредоточенной.

Если теперь разложить интеграл (16) по формуле (15), то получим к

Всмотревшись в правую часть, легко в первом члене узнать статический момент непрерывно распределенных масс, а во втором — статический момент сосредоточенных масс. Аналогичный результат получится и для интеграла (17).

5) Чтобы лучше уяснить себе содержание предыдущего упражнения, предлагается:

(а) составить выражение Ф (X) и построить график его для следующего распределения масс: массы величины 1 в точках х = 1, 2 и 3 и непрерывно распределенные массы с плотностью 2 в промежутке [1, 3];

(б) то же — для такого распределения: массы величины 2 при х = 2 и 4 и непрерывно распределенные массы с плотностью в промежутке [0, 5];

(в) выяснить распределение масс, если равна функции задачи 3).

Ответы, (а) В промежутке [1, 3] имеем

(б) В промежутке [0, 5] имеем

(в) Массы величины 1 в точках и 0, в промежутке непрерывно распределенные массы с плотностью 1, в промежутке [0, 2] — массы с плотностью

Рис. 30.

6) Рассмотрим другой вопрос, в котором интеграл Стилтьеса играет такую же роль, как и в упражнении 4). Предположим, что на балку (рис. 30), покоящуюся на двух опорах, кроме непрерывно распределенной нагрузки

действуют и сосредоточенные силы. Расположим ось х вдоль по оси балки, а ось у вертикально вниз (см. рис.). Не делая различий между действующими силами, обозначим для через сумму всех сил, приложенных на отрезке балки, включая и реакции опор; далее, пусть Силу называют перерезывающим усилием в сечении х балки. При этом силы, направленные вниз, будем считать положительными, а вверх отрицательными.

Поставим задачей определить так называемый изгибающий момент в произвольном сечении балки. Под этим разумеют сумму моментов всех сил, действующих на правую (или на левую) часть балки, относительно этого сечения. При этом, когда речь идет о правой части балки, момент Считают положительным, если он вращает эту часть по часовой стрелке (для левой части — обратное правило).

Так как на элементе , скажем, правой части балки приложена сила создающая элементарный момент

то, «суммируя», получим

Аналогично, исходя из левой части балки, можно было бы получить (учитывая изменение положительного направления для отсчета моментов)

Легко непосредственно усмотреть, что оба выражения изгибающего момента в действительности тождественны. Их равенство равносильно условию

которое является следствием из условий равновесия

выражающих равенство нулю суммы всех сил и суммы моментов (относительно начала) всех сил, действующих на балку.

Если интенсивность непрерывно распределенной нагрузки обозначить через то, исключая точки, где приложены сосредоточенные силы, будет

Пусть сосредоточенные силы приложены в точках Тогда, очевидно, перерезывающее усилие именно в этих точках имеет скачки, соответственно равные Далее, применяя, например, к интегралу (18) формулу (15), получим

В двух слагаемых правой части легко узнать моменты, порожденные порознь непрерывной нагрузкой и сосредоточенными силами: интеграл Стилтьеса охватывает их единой интегральной формулой.

Установим еще один факт, интересный для теории сопротивления материалов. Произведя в формуле (18) интегрирование по частям, получим

Отсюда ясно, что всюду, за исключением точек приложения сосредоточенных сил, имеет место равенство

7) Пример. Пусть балка длины несет (рис. 31) «треугольную» нагрузку с интенсивностью кроме того, пусть к ней приложены сосредоточенная сила, равная 3, в точке и реакции опор, обе равные — 3 (они устанавливаются по закону рычага). Определить перерезывающее усилие и изгибающий момент .

Ответ.

8) Формула (15) может оказаться полезной и для вычисления обычных интегралов (в смысле Римана). Проиллюстрируем это на следующем общем примере.

Рис. 31.

Пусть — «кусочно-полиномиальная» функция в промежутке означает, что промежуток разлагается на конечное число частей точками

так, что в каждой из частей функция представляется полиномом не выше степени. Заменив значения функции и всех ее производных в точках а и нулями, обозначим через величину скачка производной в точке

Пусть, далее, любая непрерывная функция; положим

Тогда имеет место следующая формула:

Действительно, последовательно находим

двойная подстановка исчезает, а интеграл

аналогично

9) Установим, в заключение, с помощью формулы (11) одно полезное обобщение формулы интегрирования по частям для обыкновенных интегралов. Именно, если обе абсолютно интегрируемы в промежутке определяются интегральными формулами:

то справедлива формула

Для доказательства, по формуле (11) заменим интеграл слева интегралом Стилтьеса и проинтегрируем по частям [577]:

Остается еще раз применить формулу (11) к последнему интегралу, чтобы прийти к (19).

Здесь функции и играют как бы роль производных от функций не будучи ими на деле. При непрерывности функций мы возвращаемся к обычной формуле интегрирования по частям, ибо тогда наверное