721. Задача о колебании струны.

Наиболее важные приложения ряды (и интегралы) Фурье имеют в области математической физики. Желая осветить эти приложения примерами, мы начнем с классической задачи о колебании струны, которая сыграла важную роль в самой постановке вопроса о возможности тригонометрического разложения функции.

Под струной мы разумеем свободно изгибающуюся и невесомую нить. Пусть такая струна, длины закреплена концами в точках оси х и под действием натяжения Н располагается в равновесии вдоль этой оси (рис. 138). Представим себе, что в момент струна выводится из положения равновесия и, вдобавок, точки ее снабжаются некоторыми скоростями в вертикальном направлении.

Тогда точки струны начнут колебаться в вертикальной же плоскости. Если допустить, что каждая точка М струны с абсциссой х колеблется строго вертикально, то ее отклонение у в момент времени 0 от положения равновесия будет функцией от обеих переменных

Задача и состоит в определении этой функции.

Рис. 138.

Ограничимся рассмотрением лишь малых колебаний струны, при которых величины у и малы (так что струна незначительно отдаляется от положения равновесия и остается пологой); это дает нам право пренебрегать квадратами этих малых величин.

Возьмем элемент струны в момент времени t (см. рис.); его длину, в силу сказанного, можно считать равной его первоначальной длине в начальный момент, ибо

Раз мы пренебрегаем изменениями длины, то и натяжение струны мы можем считать неизменным.

На выделенный элемент струны действует в точке М натяжение Н, направленное влево по касательной в этой точке, а в точке — такое же натяжение, но направленное вправо по касательной. Если через а и а обозначить соответствующие углы наклона касательной, то сумма вертикальных составляющих этих сил (а только их нам и нужно учитывать) будет

Здесь мы снова воспользовались правом отбрасывать квадраты малых величин (например, положили

а затем приращение функции заменили ее дифференциалом.

Если обозначить через «линейную» плотность струны, то масса элемента будет

Тогда по закону движения Ньютона произведение массы элемента на ускорение должно равняться найденной выше силе, действующей на этот элемент:

Полагая

окончательно получим такое дифференциальное уравнение в частных производных:

которое и описывает изучаемое явление.

Кроме этого уравнения, искомая функция должна удовлетворять еще ряду требований, прежде всего — так называемым предельным или граничным условиям:

выражающим факт закрепления концов струны. Затем, если функции характеризуют отклонения и скорости точек струны в момент то должны выполняться и начальные условия:

Таким образом, задача сводится к разысканию такой функции которая удовлетворяла бы уравнению (2) и условиям (3) и (4).

Начнем, следуя по пути, указанному Фурье, с разыскания частных решений уравнения (2), удовлетворяющих, сверх того, предельным условиям (3), но отличным от нулевого решения (начальные условия мы пока оставляем в стороне). Упомянутые частные решения мы станем искать в виде произведения двух функций, из которых одна зависит только от х, а другая — только от

Уравнение (2) в этом случае принимает вид

где штрихи означают производные по той переменной, от которой функция зависит, или

Так как левая часть этого равенства не зависит от х, а вторая — от t, то общее значение их по необходимости не зависит ни от х, ни от t и сводится

к постоянной, которую мы возьмем в виде Тогда уравнение (5) распадается на два:

их решения «общие интегралы» имеют вид:

Для того чтобы функция удовлетворяла предельным условиям (3), им должна удовлетворять функция X. Полагая сразу видим, что полагая же и учитывая, что уже не может быть нулем, придем к условию

откуда при натуральном Таким образом, X может иметь одно из следующих значений:

Полагая при

придем к такой последовательности частных решений:

Нетрудно видеть, что поставленным требованиям будет удовлетворять и сумма этих решений, взятых в любом числе. Это наталкивает на мысль рассмотреть бесконечный ряд, составленный из всех таких решений, и положить

Мы примем пока, что этот ряд сходится и что сумма его удовлетворяет уравнению (2); выполнение условий (3) очевидно. Теперь лишь обращаемся мы к начальным условиям (4) и постараемся распорядиться постоянными так, чтобы удовлетворить и им. Допустим, что для ряда (8) законно почленное дифференцирование по t, так что

Полагая в (8) и (9) , приходим к условиям

Отсюда, если только функции удовлетворяют условиям разложимости в ряд Фурье, по формулам (25) п° 689 и определяются, наконец, искомые

коэффициенты:

Мы получили, таким образом, по крайней мере формально, полное решение поставленной задачи в виде ряда (8) с коэффициентами, вычисленными по формулам (11)!

Правда, вопрос о том, будет ли оно действительно решением, пока остается открытым. Для того чтобы ответить на него, наложим теперь требования на функции и именно, пусть функция будет дифференцируема, а функция дважды дифференцируема, причем производные и предположим имеющими ограниченное изменение в промежутке Тогда имеют место такие оценки:

Оба разложения (10) в действительности имеют место во всем промежутке сходится и разложение (8), причем определяемая им функция удовлетворяет как предельным, так и начальным условиям (почленное дифференцированное по t теперь оправдывается равномерной сходимостью ряда Несколько сложнее удостовериться в том, что эта функция удовлетворяет самому дифференциальному уравнению.

Заметим, что ряды (10) сходятся и за пределами промежутка обозначая их суммы по-прежнему через мы получаем, таким образом, распространения этих функций на весь бесконечный промежуток с сохранением их дифференциальных свойств, за исключением разве лишь точек вида при целом к. Ряд для равномерно сходящийся в любом конечном промежутке, можно почленно проинтегрировать, так что

где есть одна из первообразных для функции Раскрывая скобки в (8), можно переписать это выражение в виде

Дважды дифференцируя по t и по х, теперь уже легко убедиться в выполнении уравнения (2)!

Решение рассмотренной здесь задачи можно было бы получить и непосредственно в последней форме, но решение в форме тригонометрического ряда (8) имеет преимущество, ибо позволяет вскрыть важные физические особенности изучаемого явления. Объединяя в (8) оба члена в скобках, перепишем разложение так:

Мы видим, что полное колебание струны слагается из ряда отдельных колебаний

Рис. 139.

Участвующие в таком элементарном колебании точки струны все колеблются с одной и той же частотой или, если угодно, с одним и тем же периодом, которому отвечает тон определенной высоты. Амплитуда колебания каждой точки зависит от ее положения; она равна

Вся струна разбивается на равных участков, причем точки одного и того же участка находятся всегда в одной и той же фазе, а точки соседних участков — в прямо противоположных фазах. На рис. 139 изображены последовательные положения струны для случаев . Точки, отделяющие один участок от другого, находятся в покое; это — так называемые «узлы». Середины участков («пучности») колеблются с наибольшей амплитудой. Описанное явление носит название стоячей волны; отсюда и сам метод Фурье обычно называют методом стоячих волн.

Основной тон определяется первой составляющей ей отвечает частота и период Остальные тона, одновременно с основным издаваемые струной, или обертоны, характеризуют определенную «окраску» звука, или его тембр. Если нажать пальцем в середине струны, то сразу заглохнут как основной тон, так и нечетные обертоны, для которых там была пучность. Четные обертоны, для которых на середину струны приходится узел, все сохранятся; среди них роль основного будет играть второй обертон, с периодом и струна станет издавать октаву первоначального тона. Все это можно прочитать по полученному решению нашей задачи!