701. Случай произвольной функции.

Рассмотрим периодическую, с периодом абсолютно интегрируемую функцию с изолированной точкой разрыва первого рода Тогда в некотором промежутке не будет других точек разрыва; для простоты предположим, что в этом промежутке функция имеет ограниченное изменение.

Введем теперь функцию с которая отличается от изученной в предыдущем п° функции сдвигом вправо на и составим с ее помощью функцию

Если условиться за значение в точке разрыва принимать как легко проверить:

Функция в точке оказывается непрерывной: с помощью функции о удалось компенсировать разрыв функции Функция будет непрерывна и в прочих точках промежутка , если взять кроме того, вместе с функциями функция также будет иметь в названном промежутке ограниченное изменение.

Теперь мы можем написать:

Заменив здесь каждую из функций ее разложением в ряд

Фурье, мы получим, очевидно, и разложение заданной функции в ряд Фурье. Частичная сумма последнего ряда представляется в виде:

Здесь, при или

а означает соответствующую частичную сумму ряда для

Так как и функция в точке непрерывна, то при достаточно малом ее значения в промежутке будут сколь угодно малы. В то же время в этом промежутке стремится к равномерно, следовательно, при достаточно большом и значения будут сколь угодно малыми. Таким образом, поведение сумм в основном определяется уже известным нам поведением сумм — наличие слагаемого вносит в него лишь незначительные искажения, тем меньшие, чем ближе и чем больше .

Если при нечетном положить

а при четном

то

Наряду с этим, если учесть (10),

так как, очевидно, при

Заменяя и вводя величину скачка можно полученный результат и так:

Аналогично, полагая

в зависимости от того, будет ли нечетным или четным, получим:

Таким образом, и в рассматриваемом общем случае предельное значение колебания сумм в окрестности точки разрыва оказывается больше самой величины скачка функции на

т. е. на те же ее. И здесь также для получения предельного геометрического образа для графиков сумм недостаточно к кривой присоединить отрезок вертикальной прямой соединяющий точки с ординатами но приходится этот отрезок соответственным образом удлинить и вверх и вниз. Можно сказать, что и для произвольной функции осуществляется явление Гиббса!

Замечание. Исследования, связанные с явлением Гиббса, приводят и к другим интересным результатам. Так, с их помощью могут быть установлены формулы, определяющие для функции с ограниченным изменением ее односторонние пределы и величину скачка в любой точке непосредственно по ее ряду Фурье. Для этой цели могут быть использованы, например, формулы (12) и (13): вычитая их почленно, найдем

после чего уже легко определяется и Различные формулы этого типа были установлены Фейером (L. Fejer).