713. Достаточные признаки.

Умножив обе части равенства

на постоянное число — предполагаемое значение интеграла (2), вычтем результат почленно из равенства (5). Мы получим

если, как и в п° 683, положить для краткости

И здесь мы ограничимся случаями, когда (а) функция в точке непрерывна, либо имеет в этой точке с обеих сторон разве лишь разрывы первого рода. При этом мы полагаем:

В этом предположении имеем теперь

Признак Дини. Интеграл Фурье функции в точке сходится и имеет значение если при некотором сходится интеграл

Представим интеграл (6) в виде суммы интегралов:

Первый из них при стремится к нулю — в силу основной леммы п° 682. Что же касается второго, то, подставляя вместо его выражение, разобьем этот интеграл в свою очередь на два слагаемых:

Ввиду предположенной абсолютной интегрируемости функции будет абсолютно интегрируемой и функция

а тогда первое слагаемое при стремится к нулю уже в силу того дополнения к основной лемме, которое сделано в конце предыдущего п°. Наконец, стремление к нулю интеграла

непосредственно очевидно по самому определению несобственного интеграла.

Отсюда, как и в п° 684, могут быть получены более простые частные признаки. Упомянем для примера, что достаточным является существование для функции в точке конечной производной или, по крайней мере, конечных односторонних производных.

К интегралу Фурье приложим также и

Признак Дирихле—Жордана. Интеграл Фурье функции в точке сходится и имеет значение если в некотором промежутке с центром в этой точке функция имеет ограниченное изменение.

Если интеграл

представить в виде суммы интегралов

то про второй из них мы только что установили, что он при стремится к нулю. Первый же стремится к

— на этот раз на основании леммы п° 686. Действительно, функция в промежутке значений t имеет ограниченное изменение и, следовательно, представляется в виде разности двух возрастающих функций, к каждой из которых в отдельности лемма приложима.