§ 10.13. Уравнения Гамильтона.

Мы уже отмечали (§ 6.4), что уравнений Лагранжа второго порядка для голономной системы можно заменить уравнениями первого порядка, имеющими вид

Здесь — векторы (матрицы-столбцы). Этого, очевидно, можно достигнуть, выбрав в качестве переменных координат скоростей Но значительно более удобную и важную форму уравнений первого порядка мы получим, если в качестве переменных возьмем координат импульсов (§ 6.10).

Предположим сначала, что система голономна и консервативна и обладает степенями свободы. Имеем

Выразим из этих уравнений через Скорости являются линейными функциями от с коэффициентами, зависящими от (иногда также от t). Подставляя эти выражения для в соотношение

получаем функцию от Эта функция называется функцией Гамильтона и обозначается через Таким образом, мы получаем функцию Гамильтона из соотношения (10.13.2) после замены в нем на Она представляет собой квадратичную форму от с коэффициентами, зависящими от Функция Гамильтона

зависит от переменных тогда как функция Лагранжа (§ 6.6) зависела от Кратко функцию (10.13.3) можно записать так:

Рассмотрим теперь произвольную вариацию (или соответственно-произвольную вариацию при которой t не варьируется. Имеем

Отсюда

Переходя к уравнениям движения

видим, что они эквивалентны системе уравнений

Это — уравнения движения Гамильтона, полученные им в 1834 г. Уравнения Гамильтона играют исключительно важную роль в аналитической механике. Они имеют форму (6.4.4), но отличаются от нее тем, что входящих в них зависимых переменных сгруппированы в пар а правые части имеют форму, указанную в уравнениях (10.13.8).

Прежде всего отметим, что две группы уравнении (10.13.8) неодинаковы по своему содержанию. Первые уравнений

получены исключительно на основе определения функции и совершенно не связаны с законами динамики. Они эквивалентны уравнениям, определяющим переменные

В самом деле, уравнения (10.13.9) определяют как линейные функции от а уравнения (10.13.10) определяют как линейные функции от Если разрешить уравнения (10.13.9) относительно то получим соотношения (10.13.10), а разрешая последние относительно придем вновь к уравнениям (10.13.9). Динамические закономерности находят отражение лишь во второй группе уравнений (10.13.8):

То обстоятельство, что две группы уравнений Гамильтона различаются по содержанию, несущественно для приложений, и их можно считать совершенно равноправными.

С помощью функции Гамильтона можно составить уравнения движения, она заключает в себе полное описание возможных движений механической системы.

Уравнения Гамильтона (10.13.8) были выведены нами для голономной консервативной системы, однако нетрудно видеть, что они могут быть получены и для механических систем других типов.

1) Если система не является голономной, то, пользуясь обозначениями § 6.2, можно написать

К этим уравнениям присоединяются I дополнительных уравнений связи

2) Если система голономна и имеет степеней свободы и если помимо сил, обладающих потенциальной функцией V, имеются еще другие заданные силы, то в обозначениях § 6.5 будем иметь

Предполагается, что функции зависят только от и не зависят от . (В общем случае, когда зависят также и от уравнения не имеют формы но их можно привести к этой форме, если каждая функция есть линейная форма от с коэффициентами, зависящими только от

3) Если система голономна и имеет степеней свободы и если имеются силы трения типа сил Релея (§ 10.11), то уравнения движения записываются в следующей форме:

Поскольку есть однородная квадратичная форма от эти уравнения можно привести к виду

4) Варианты 2) и 3) легко обобщаются на случай неголономной системы.

Для этого достаточно добавить к правым частям уравнений для слагаемые и присоединить к полученным уравнениям I уравнений связи

Функцию Гамильтона мы получили из функции Лагранжа Можно решить и обратную задачу — найти функцию зная функцию . В самом деле, представляет собой функцию вида в которой заменены на а такую замену легко сделать с помощью уравнений