§ 29.12. Сведение к системе восьми уравнений.

Вернемся к рассуждениям § 29.10. Мы видели, что задача трех тел фактически может быть сведена к задаче двух тел: частицы массы сосредоточенной в точке (х, у, z), и частицы массы расположенной в точке ; при этом действующие на частицы силы обладают потенциалом Движение частиц описывается системой двенадцати уравнений Гамильтона. В настоящем параграфе мы сократим число этих уравнений до восьми, для чего воспользуемся теорией контактных преобразований.

Перейдем к другим обозначениям: вместо (х, будем писать а вместо будем писать Фуцкция Гамильтона для системы будет иметь следующее выражение:

в котором

а определяются формулами

Вспомним, что

Понижение порядка произведем в два этапа. Сначала перейдем от к новым переменным с помощью контактного преобразования, определяемого уравнениями

причем производящую функцию возьмем в виде

где

Заметим, что функция есть сумма двух выражений, причем второе получается из первого путем замены индексов 1, 2, 3 соответственно на индексы 4, 5, 6. Имеем

и аналогичные формулы с индексами 4, 5, 6.

Поясним физический смысл введенных координат. Прежде всего заметим, что

откуда видно, что есть расстояние точки от точки О в эквивалентной задаче двух тел, т. е. расстояние в исходной задаче трех тел. Далее рассмотрим движение частицы в эквивалентной задаче двух тел. Пусть радиус-вектор пересекает единичную сферу в точке предположим, что плоскость , содержащая начало О и элемент траектории частицы пересекает дугу большого круга единичной сферы в точке А. Тогда будет долготой узла (рис. 121). Чтобы убедиться в этом, покажем, что если на рис. 121 угол обозначить через а угол через то формулы преобразования совпадут с (29.12.8).

Рис. 121.

Точку дуги большого круга с долготой обозначим через пусть плоскость со пересекает дугу большого круга в точке Составляющие импульса частицы вдоль осей равны поэтому составляющая его вдоль равна и так как вектор импульса лежит в плоскости , то

где через обозначен угол Единичный вектор в направлении имеет составляющую по оси составляющую по оси и составляющую по оси Составляющие этого вектора по осям

соответственно равны

Приравнивая эти выражения величинам получаем равенства (29.12.8).

Физический смысл величин ясен из соотношений (29.12.9). Импульс частицы есть векторная сумма вектора направленного вдоль и вектора направленного вдоль Отсюда следует, что есть составляющая импульса в направлении Далее, равняется величине вектора момента количеств движения относительно точки О (этот вектор имеет направление где обозначает полюс сферы, экваториальная плоскость которой есть Наконец, есть момент количества движения частицы относительно оси

Формулы преобразования (29.12.8), (29.12.9) и соответствующие формулы с индексами 4, 5, 6 показывают, что

и

где а угол определен для индексов точно так же, как угол для индексов 1, 2, 3. Кроме того, поскольку

переменные можно выразить через так что функцию (29.12.1) также можно представить в переменных

Чтобы выразить составляющие момента количеств движения в новых переменных, воспользуемся формулами

вытекающими из (29.12.8), (29.12.9). Последняя из этих формул уже упоминалась ранее, а две остальные легко выводятся непосредственно из чертежа. Интегралы момента количеств движения имеют вид

На этом завершается первый этап решения поставленной задачи. Заметим, что рассмотренное нами преобразование не является расширенным точечным преобразованием, поскольку переменные нельзя выразить через одни только переменные

Перейдем теперь ко второму этапу. Воспользуемся интегралами момента количеств движения. Направим ось вдоль (постоянного) вектора момента

количеств движения, так что будем иметь и совершим контактное преобразование, в котором третья составляющая будет единственной переменной импульса.

Равенство нулю двух первых выражений (29.12.16) показывает, что Без потери общности можно принять следовательно,

что ясно из геометрических соображений.

Теперь откажемся от принятого ранее деления формул на две группы: на формулы для индексов 1, 2, 3 и формулы для индексов 4, 5, 6. Перейдем от переменных к переменным с помощью уравнений преобразования

где

В результате будем иметь

Оба использованных нами преобразования не зависят от поэтому для получения новых уравнений движения достаточно выразить функцию имеющую вид (29.12.1), через

Прежде всего, заметим, что координата циклическая, что нетрудно было предвидеть, поскольку величина остается постоянной в течение всего времени движения. Положим Далее, в продолжение всего времени, и из формул (29.12.17) и (29.12.14) следует, что для любого t

откуда

Это значение переменной можно ввести в выражение для до того, как будут написаны уравнения движения. В самом деле, обозначая составленную так функцию через а любую из переменных временно через будем иметь

так что будет равно нулю в течение всего времени. Отсюда следует, что при составлении функции Гамильтона (которая во всяком случае не содержит можно положить и

В результате получаем функцию Гамильтона от восьми переменных: Задача, таким образом, свелась к системе восьмого порядка. После того как система проинтегрирована, циклическая координата

находится квадратурой из уравнения

Единственное затруднение при составлении функции связано с преобразованием суммы в правой части равенства (29.12.13). Учитывая (29.12.17), находим

Итак, уравнения движения составляются с помощью следующей функции Гамильтона:

(штрихи мы отбросили). Здесь

Для понижения порядка системы до шестого, вообще говоря, можно было бы воспользоваться интегралом энергии (см. § 22.4), но в данном случае эта процедура привела бы к значительным вычислительным трудностям.