§ 27.8. Система с двумя степенями свободы.

Для некоторых простых систем с двумя степенями свободы можно указать поверхность (в обычном евклидовом пространстве), которая гомеоморфна всему пространству конфигураций, иными словами, существует взаимно однозначное отображение пространства конфигураций на указанную поверхность. Рассмотрим два простых примера.

Рис. 108.

1) Твердая пластина движется в своей плоскости таким образом, что некоторая ее точка А перемещается вдоль заданной прямой Положение пластины в момент t можно определить двумя лагранжевыми координатами: х и 0, где х есть расстояние а угол между осью и отрезком соединяющим точку А с центром тяжести пластины (рис. 108). Пространство конфигураций в данном случае гомеоморфно поверхности кругового цилиндра с цилиндрическими координатами причем х отсчитывается вдоль оси цилиндра, от неподвижной плоскости, проходящей через ось.

Если точка А может свободно перемещаться по всей длине оси х, то цилиндр будет иметь бесконечную длину. Если же имеются ограничения, выражаемые неравенствами

или

то в этом случае длина цилиндра ограничена плоскостями, нормальными к его оси. Пределы в. неравенствах (27.8.1) иногда называют неупругими упорами, а в неравенствах (27.8.2) — упругими упорами.

Интересно отметить, что при ином выборе лагранжевых координат в данной задаче можно добиться фактического равенства линейных элементов пространства конфигураций и его топологического эквивалента — поверхности цилиндра. Имеем

где а обозначает длину отрезка а момент инерции пластины относительно центра масс Для пространства конфигураций имеем (полагая

Перейдем теперь к новым лагранжевым координатам связанным со старыми соотношениями

так что есть координата х точки есть монотонно возрастающая функция от 0, причем значению соответствует значение Равенство (27.8.4) при этом принимает вид

где

Элемент длины в пространстве конфигураций равен элементу длины отрезка на цилиндре радиуса в качестве цилиндрических координат. Если нет заданных сил в уравнении (27.7.8)), траектории в пространстве конфигураций соответствуют геодезическим линиям на поверхности цилиндра; если последний развернуть на плоскость, то геодезические линии перейдут в прямые.

2) Рассмотрим двойной маятник, составленный из двух стержней соединенных вместе в точке В, и свободно подвешенный в неподвижной точке А. Такая система может совершать движение в вертикальной плоскости, проходящей через точку А. (Вместо двух стержней мы могли бы взять легкую струну подвешенную в неподвижной точке А, с массивными грузами в точках ) В качестве лагранжевых координат возьмем углы которые стержни и составляют с направленной вниз вертикалью. Пространство конфигураций такой системы гомеоморфно поверхности тора; при этом играет роль азимутального угла, а углового перемещения в круговом поперечном сечении, отсчитываемого от центральной плоскости тора.