§ 5.4. Задача двух тел.

Две частицы движутся в пространстве под действием сил взаимного притяжения. Обозначим массы частиц через а расстояние через Сила, действующая на частицу равна и направлена от через 7 здесь обозначена гравитационная постоянная. Сила, действующая на частицу равна и направлена от к Поэтому ускорение частицы относительно частицы в любой момент времени равно и направлено от к Относительное движение таково же, как движение частицы с ускорением, равным и направленным в каждый момент в фиксированную точку Орбита (в относительном движении), очевидно, является плоской; положение плоскости определяется начальным положением прямой и начальной (относительной) скоростью частицы (если только она не направлена вдоль в последнем случае движение прямолинейно).

Если известно движение частицы относительно то движение ее относительно центра масс определится из соотношения

В задаче двух тел (если Вселенную считать состоящей всего из двух частиц) центр масс движется равномерно и прямолинейно. Если известно движение центра масс а также движение относительно то можно определить движение в пространстве; совершенно так же, разумеется, можно определить движение частицы РПоскольку точка движется равномерно, можно воспользоваться ньютоновой системой отсчета (часто так и поступают); центр масс в ней будет находиться в покое.

Рассмотрим теперь движение частицы относительно Движение это таково, что ускорение направлено к фиксированной точке и равно где Выберем неподвижный центр притяжения в качестве начала координат, а плоскость движения примем за плоскость задача кратко уже рассматривалась нами в § 5.2 как иллюстрация к общей теории центральных орбит, здесь мы решение получим более простым путем и подвергнем его более детальному анализу. Уравнения движения имеют вид

где х, у — декартовы координаты, а полярные координаты. Сохранение момента количеств движения выражается уравнением

Примем для определенности, что (случай соответствующий прямолинейному движению, оставим в стороне), Из уравнений (5.4.1),

(5.4.2) получаем

Интегрируя, находим

где постоянные, определяемые начальными условиями. Далее имеем

Подставляя выражения для х и у из (5.4.4), приходим к соотношению

Поскольку уравнение (5.4.6) можно переписать в виде

Таким образом, орбита представляет собой геометрическое место точек, расстояние которых от точки О пропорционально расстоянию до кривой

т. е. орбитой служит коническое сечение с фокусом в точке О и директрисой, выражаемой уравнением (5.4.8). Эксцентриситет равен

Длина хорды кривой (5.4.7), параллельной директрисе, равна так что если удвоенный фокальный параметр конического сечения обозначить через то можно написать

Далее, с помощью (5.4.4) находим

где

— полная энергия, сохраняющая постоянное значение. Таким образом, в соответствии с неравенством

Наконец, подставляя значение в соотношение (5.4.10), находим

Для эллиптической орбиты следовательно,

где 2а — длина большой оси эллипса Для параболической орбиты и

Для гиперболической орбиты и

Формулы (5.4.9) и (5.4.14) (или являются классическими формулами, выражающими форму и размеры орбиты через постоянную энергии К и постоянную момента количеств движения а.