§ 26.9. Система Лиувилля.

Теорема § 26.7 особенно удобна для изучения системы Лиувилля, рассмотренной нами в § 18.1. Система Лиувилля является натуральной системой с степенями свободы. В простейшем случае имеем

где

а являются функциями от представляют суммы функций, каждая из которых зависит от соответствующей координаты. Как и в § 26.7, введем новую независимую переменную 0, связанную с t соотношением Тогда будем иметь

Интеграл энергии (26.7.8) запишется в форме

Функция Лагранжа (26.9.3) обнаруживает замечательное свойство: она полностью распадается на независимых функций Лагранжа вида

Соответствующее уравнение движения

допускает интеграл энергии

где согласно Траектории в -пространстве для движений с энергией могут быть найдены путем интегрирования уравнения

и выражения каждого через 0.

Сказанное выше без труда распространяется на системы более общего типа, для которых

где

есть функция от (Это обобщение является достаточно очевидным; чтобы получить его, нужно перейти к новым координатам связанным со старыми соотношениями

При этом принимает вид а по-прежнему представляют суммы функций, каждая из которых зависит от соответствующей координаты.) Вводя, как и ранее, новую переменную , связанную со старой соотношением получаем для системы (26.9.9)

Мы снова обнаруживаем, что функция Лагранжа распадается на независимых функций вида

Интеграл энергии (26.7.8) в данном случае принимает вид

а интегралы энергии для отдельных систем —

причем Зависимость каждой из переменных от можно получить, интегрируя уравнение

Этот результат уже был получен нами ранее (см. (18.1.10)).

На первый взгляд может показаться, что в рассмотренных примерах осуществляется полное разделение системы на независимых систем, подобно тому как это имело место в теории малых колебаний, когда использовались нормальные координаты. Однако такое разделение является в известном смысле кажущимся. Действительно, мы можем получить соотношение между каждым и независимо от остальных (см. (26.9.8) и (26.9.16)), но этого не удается сделать для соотношений между и временем. Следует иметь в виду, что не является истинным временем, соотношение между и t включает в себя все поскольку