§ 26.9. Система Лиувилля.
Теорема § 26.7 особенно удобна для изучения системы Лиувилля, рассмотренной нами в § 18.1. Система Лиувилля является натуральной системой с 
степенями свободы. В простейшем случае имеем
где
а 
являются функциями от 
представляют суммы функций, каждая из которых зависит от соответствующей координаты. Как и в § 26.7, введем новую независимую переменную 0, связанную с t соотношением 
Тогда будем иметь
Интеграл энергии (26.7.8) запишется в форме
Функция Лагранжа (26.9.3) обнаруживает замечательное свойство: она полностью распадается на 
независимых функций Лагранжа вида
Соответствующее уравнение движения
допускает интеграл энергии
где согласно 
Траектории в 
-пространстве для движений с энергией 
могут быть найдены путем интегрирования уравнения
и выражения каждого 
через 0.
Сказанное выше без труда распространяется на системы более общего типа, для которых
где
есть функция от 
(Это обобщение является достаточно очевидным; чтобы получить его, нужно перейти к новым координатам 
связанным со старыми соотношениями
При этом 
принимает вид 
а 
по-прежнему представляют суммы функций, каждая из которых зависит от соответствующей координаты.) Вводя, как и ранее, новую переменную 
, связанную со старой соотношением 
получаем для системы (26.9.9)
Мы снова обнаруживаем, что функция Лагранжа распадается на 
независимых функций вида
Интеграл энергии (26.7.8) в данном случае принимает вид
а интегралы энергии для отдельных систем —
причем 
Зависимость каждой из переменных 
от 
можно получить, интегрируя уравнение
Этот результат уже был получен нами ранее (см. (18.1.10)).
На первый взгляд может показаться, что в рассмотренных примерах осуществляется полное разделение системы на 
независимых систем, подобно тому как это имело место в теории малых колебаний, когда использовались нормальные координаты. Однако такое разделение является в известном смысле кажущимся. Действительно, мы можем получить соотношение между каждым 
и 
независимо от остальных 
(см. (26.9.8) и (26.9.16)), но этого не удается сделать для соотношений между 
и временем. Следует иметь в виду, что 
не является истинным временем, соотношение между 
и t включает в себя все 
поскольку 
