§ 1.7. Несвободная материальная точка (случай III).

После того как мы рассмотрели два примера, сделаем одно обобщение.

В приведенных примерах левая часть уравнения связи Пфаффа является точным дифференциалом, но это обстоятельство ни в коей мере не является существенным для общего понятия о связях. Уравнение может содержать любую форму Пфаффа, не обязательно такую, которая допускает интегрирующий множитель. В общем случае уравнение связи мы будем записывать в следующей форме:

где заданные функции переменных х, у, z, t, принадлежащие классу Перемещения, удовлетворяющие уравнению суть возможные перемещения. Виртуальные перемещения удовлетворяют уравнению

Вместо возможных и виртуальных перемещений можно оперировать возможными и виртуальными скоростями. Возможные скорости удовлетворяют уравнению

а виртуальные скорости — уравнению

Практически уравнения Пфаффа (1.7.1) и (1.7.2) обычно более удобны, чем уравнения (1.7.3) и (1.7.4).

Сформулируем теперь задачу в общем виде. Материальная точка находится под действием заданной силы и реакции связи Реакция связи такова, что работа ее на любом виртуальном перемещении равна нулю, и движение при действии указанных выше двух сил является возможным, т. е. действительное движение удовлетворяет уравнению (1.7.3).

Теперь легко убедиться, что в общем случае движение может быть определено. Поскольку

для всех удовлетворяющих (1.7.2), будем иметь

или

Таким образом, переменные х, у, z удовлетворяют следующим уравнениям:

В общем случае этих четырех уравнений достаточно для определения четырех неизвестных х, у, z, X как функций независимой переменной t. Для нахождения решения нужно знать значения (удовлетворяющие (1.7.3)) в момент

Сделаем еще пару замечаний. Геометрически уравнение (1.7.2) показывает, что виртуальное перемещение лежит в плоскости, перпендикулярной к вектору тогда как из уравнения (1.7.6) следует, что реакция связи направлена вдоль этого вектора. Физический смысл множителя тоже ясен: он пропорционален величине реакции связи. Реакция связи равна

Как правило, возможные перемещения и виртуальные перемещения различаются, однако если тождественно равно нулю, то они совпадают. В этом случае система носит название катастатической. Заметим, что в катастатической системе коэффициенты с могут зависеть не только от х, у, z, но и от t. Для катастатической системы характерно, что 1) возможные и виртуальные перемещения идентичны и 2) скорость является возможной скоростью. Система, не являющаяся катастатической, называется акатастатической.