§ 15.5. Главная функция.

Введем теперь так называемую главную функцию Гамильтона. Идея главной функции подсказана методами, применяемыми в геометрической оптике. Главная функция позволяет получить динамически возможные движения системы.

В явной форме главная функция представляет собой интеграл взятый вдоль действительной траектории (т. е. вдоль пути в -пространстве, удовлетворяющего уравнениям движения) и выраженный через начальные и конечные значения координат, а также начальное и конечное значения времени:

или, короче,

Чтобы построить главную функцию, можно поступить следующим образом. Допустим сначала, что нам удалось найти интегралы уравнений движения Лагранжа, так что каждая координата является известной однозначной функцией от переменных переменных а также моментов времени (через мы обозначили значение в момент Итак, пусть известны функции

Теперь можно выразить функцию через параметров и переменную t. Взяв интеграл от этой функции в пределах от до выразим его через параметров параметров и

Рассмотрим точку достигаемую в момент t. Имеем

С помощью этих уравнений можно исключить из (15.5.4), выразив их через Проделав это, получим искомую функцию

Мы видим, что играют лишь вспомогательную роль и не фигурируют в окончательном результате. Для этой же цели можно было бы использовать любую другую подходящую систему параметров (например, величин или . В результате мы пришли бы к одной и той же функции независимо от того, какой системой параметров пользовались при ее составлении. Тем не менее для конкретности мы будем в дальнейшем

считать, что функция построена описанным выше способом. Отметим, что если функпия не зависит явно от то являются функциями от разности входят в выражение для только в виде разности

Выясним теперь характер зависимости от ее аргументов. Фиксируя сначала и рассматривая только вариации терминальных точек, получаем из (15.4.5)

где составляюхцие обобщенного импульса в моменты Составляющие импульса в терминальных точках траектории можно найти из главной функции: они равны частным производным —

Далее рассмотрим вариацию времени Если через обозначить значение на траектории в момент то будем иметь

Следовательно,

где значение функции Гамильтона И в заданном движении в момент

Из соображений симметрии следует, что

где значение функции в заданном движении в момент (Формальное доказательство этого результата не совсем тривиально, если иметь в виду описанный выше способ построения главной функции. Возникающие здесь трудности можно обойти, если по-другому выбрать систему вспомогательных параметров; к этому вопросу мы еще вернемся в § 15.7.) Таким образом, для самой общей вариации по всем аргументам мы получаем важную формулу: