Уравнения (18.3.1) можно вывести и другим способом. Из уравнений (18.2.20), (18.2.21) следует, что
Сравнивая эти уравнения с (18.2.2), приходим к уравнениям (18.3.1).
Остановимся коротко на случае, когда
может обращаться в нуль. Может случиться, что при
или что
обращается в нуль в некоторой точке
обычно в точке, лежащей на границе той области
-пространства, для которой
имеет физическое истолкование.
Предположим сначала, что
(в действительном движении), когда
Тогда
может стремиться к конечному пределу, когда
(см. § 17.3), и в этом случае
-движение есть псевдолимитационное движение. Если в начальный момент
располагается в интервале между последовательными простыми вещественными нулями
функции
то
не совершает либрации, продолжающейся неограниченно долгое время, как это можно было ожидать, а вместо этого с ростом t стремится к пределу
после, быть может, конечного числа колебаний. Если же
первоначально находится в окрестности кратного нуля функции
то
стремится к пределу вблизи кратного нуля.
Мы знаем, что
и в общем случае
(зависящее от всех
кроме
положительно. Но может существовать точка
в которой
обращается в нуль, и тогда наши выводы относительно
-движения, сделанные на основании уравнений (18.3.1), могут претерпеть изменения. В качестве примера рассмотрим случай, когда
имеет вид
где
При этом каждый элемент
строки матрицы и имеет, вообще говоря, простой полюс в точке
(это следует из уравнений (18.2.2)). Функция
уже не является непрерывной и имеет простой полюс в точке
Уравнение (18.3.1) записывается теперь так:
Функция под знаком радикала имеет в точке
простой нуль. Отсюда следует, что
может служить одним из пределов либрационного движения для
хотя
является полюсом, а не нулем функции
. С этим случаем мы встречаемся, например, в задаче о ньютоновом притяжении к двум центрам (§ 17.10). Уравнение (18.3.1) для А. принимает вид
Здесь
является простым нулем функции с, и простым полюсом функции
и уравнение (18.3.4) соответствует уравнению (17.10.13), в котором с есть простой нуль функции
Особенности такого типа обычно нетрудно обнаружить в конкретных задачах.