Уравнения (18.3.1) можно вывести и другим способом. Из уравнений (18.2.20), (18.2.21) следует, что
Сравнивая эти уравнения с (18.2.2), приходим к уравнениям (18.3.1).
Остановимся коротко на случае, когда 
может обращаться в нуль. Может случиться, что при 
или что 
обращается в нуль в некоторой точке 
обычно в точке, лежащей на границе той области 
-пространства, для которой 
имеет физическое истолкование.
Предположим сначала, что 
(в действительном движении), когда 
Тогда 
может стремиться к конечному пределу, когда 
(см. § 17.3), и в этом случае 
-движение есть псевдолимитационное движение. Если в начальный момент 
располагается в интервале между последовательными простыми вещественными нулями 
функции 
то 
не совершает либрации, продолжающейся неограниченно долгое время, как это можно было ожидать, а вместо этого с ростом t стремится к пределу 
после, быть может, конечного числа колебаний. Если же 
первоначально находится в окрестности кратного нуля функции 
то 
стремится к пределу вблизи кратного нуля.
Мы знаем, что 
и в общем случае 
(зависящее от всех 
кроме 
положительно. Но может существовать точка 
в которой 
обращается в нуль, и тогда наши выводы относительно 
-движения, сделанные на основании уравнений (18.3.1), могут претерпеть изменения. В качестве примера рассмотрим случай, когда 
имеет вид 
где 
При этом каждый элемент 
строки матрицы и имеет, вообще говоря, простой полюс в точке 
(это следует из уравнений (18.2.2)). Функция 
уже не является непрерывной и имеет простой полюс в точке 
Уравнение (18.3.1) записывается теперь так:
Функция под знаком радикала имеет в точке 
простой нуль. Отсюда следует, что 
может служить одним из пределов либрационного движения для 
хотя 
является полюсом, а не нулем функции 
. С этим случаем мы встречаемся, например, в задаче о ньютоновом притяжении к двум центрам (§ 17.10). Уравнение (18.3.1) для А. принимает вид
Здесь 
является простым нулем функции с, и простым полюсом функции 
и уравнение (18.3.4) соответствует уравнению (17.10.13), в котором с есть простой нуль функции 
Особенности такого типа обычно нетрудно обнаружить в конкретных задачах.
есть «местное» время, введенное в § 17.3, с той лишь разницей, что теперь для каждой координаты требуются свои часы. Поскольку 
знак перед радикалом берется положительным, если 
возрастает с 
и отрицательным в противном случае. Если 
не обращается в нуль, 
и функция 
непрерывна, то представление об общем характере 
-движения можно получить из уравнения (18.3.1). «Местное» время 
стремится к бесконечности вместе с 
и характер изменения 
зависит от расположения вещественных нулей функции 
Если в начальный момент 
расположено между последовательными простыми вещественными нулями 
функции 
(так что 
при 
то движение по координате 
является либрацией. Если же 
в начальный момент лежит вблизи двойного нуля 
функции 
то мы имеем лимитационное движение, при котором 
когда 
Либрация представляет собой колебательное движение между пределами 
продолжающееся неограниченно долгое время; в общем случае оно 
является периодическим по t. Как и в случае системы с двумя степенями свободы (§ 17.3), движение по одной координате в некотором смысле можно рассматривать независимо от движений по остальным координатам; это является характерным свойством разделимых систем.
