§ 18.3. Исследование интегралов.

Из уравнения (18.2.23) получаем

Здесь есть «местное» время, введенное в § 17.3, с той лишь разницей, что теперь для каждой координаты требуются свои часы. Поскольку знак перед радикалом берется положительным, если возрастает с и отрицательным в противном случае. Если не обращается в нуль, и функция непрерывна, то представление об общем характере -движения можно получить из уравнения (18.3.1). «Местное» время стремится к бесконечности вместе с и характер изменения зависит от расположения вещественных нулей функции Если в начальный момент расположено между последовательными простыми вещественными нулями функции (так что при то движение по координате является либрацией. Если же в начальный момент лежит вблизи двойного нуля функции то мы имеем лимитационное движение, при котором когда Либрация представляет собой колебательное движение между пределами продолжающееся неограниченно долгое время; в общем случае оно является периодическим по t. Как и в случае системы с двумя степенями свободы (§ 17.3), движение по одной координате в некотором смысле можно рассматривать независимо от движений по остальным координатам; это является характерным свойством разделимых систем.

Уравнения (18.3.1) можно вывести и другим способом. Из уравнений (18.2.20), (18.2.21) следует, что

Сравнивая эти уравнения с (18.2.2), приходим к уравнениям (18.3.1).

Остановимся коротко на случае, когда может обращаться в нуль. Может случиться, что при или что обращается в нуль в некоторой точке обычно в точке, лежащей на границе той области -пространства, для которой имеет физическое истолкование.

Предположим сначала, что (в действительном движении), когда Тогда может стремиться к конечному пределу, когда (см. § 17.3), и в этом случае -движение есть псевдолимитационное движение. Если в начальный момент располагается в интервале между последовательными простыми вещественными нулями функции то не совершает либрации, продолжающейся неограниченно долгое время, как это можно было ожидать, а вместо этого с ростом t стремится к пределу после, быть может, конечного числа колебаний. Если же первоначально находится в окрестности кратного нуля функции то стремится к пределу вблизи кратного нуля.

Мы знаем, что и в общем случае (зависящее от всех кроме положительно. Но может существовать точка в которой обращается в нуль, и тогда наши выводы относительно -движения, сделанные на основании уравнений (18.3.1), могут претерпеть изменения. В качестве примера рассмотрим случай, когда имеет вид где При этом каждый элемент строки матрицы и имеет, вообще говоря, простой полюс в точке (это следует из уравнений (18.2.2)). Функция уже не является непрерывной и имеет простой полюс в точке Уравнение (18.3.1) записывается теперь так:

Функция под знаком радикала имеет в точке простой нуль. Отсюда следует, что может служить одним из пределов либрационного движения для хотя является полюсом, а не нулем функции . С этим случаем мы встречаемся, например, в задаче о ньютоновом притяжении к двум центрам (§ 17.10). Уравнение (18.3.1) для А. принимает вид

Здесь является простым нулем функции с, и простым полюсом функции и уравнение (18.3.4) соответствует уравнению (17.10.13), в котором с есть простой нуль функции

Особенности такого типа обычно нетрудно обнаружить в конкретных задачах.