§ 17.7. Притяжение к центру по закону ...

Пусть частица движется в плоскости в поле притягивающих сил с потенциалом (на единицу

массы), где целое число, большее двух. Уравнения (17.3.5) принимают вид

где

Эти уравнения легко могут быть получены из общей теории § 17.3 или, при соответствующем изменении обозначений, из уравнения (5.2.14). График функции для положительных значений и представлен на рис. 50. Если принять некоторое фиксированное (положительное) значение то изменение приведет к смещению кривой как твердой линии вверх или вниз.

Рис. 50.

Рис. 51.

Имеется два критических значения Это, во-первых, значение при котором имеет два совпадающих нуля и один положительный нуль и где

И, во-вторых, значение где

При этом значении функция имеет два совпадающих нуля и , где

Критическими кривыми на диаграмме а (рис. 51) будут

Здесь определяется уравнением (17.7.4). Полуплоскость исключается, а в верхней полуплоскости мы имеем три области, разделенные критическими кривыми. Рассмотрим определенное значение а (т. е. точки на некоторой горизонтальной прямой на рис. 51) и проследим за теми изменениями, которые происходят при увеличении от до При и при движении слева направо (т. е. из области в область см. § 17.5) система траекторий распадается на две системы. Здесь нужна известная осторожность при применении общей теории, иначе можно прийти к выводу, что при имеем устойчивую круговую траекторию на линии . Однако

это не имеет физического смысла, ибо более того, теория устойчивости неприложима к этому случаю, поскольку малым изменениям и здесь вовсе не соответствуют малые перемещения в пространстве. Как указывалось в § 17.6, следует иметь в виду возможность такого рода аномалий, обусловленных свойствами выбранной системы координат. При (знак совпадает со знаком и при переходе слева направо (т. е. из области §1 в область 25) система траекторий исчезает.

Прежде чем перейти к классификации возможных типов траекторий на плоскости, заметим, что интеграл сходится в нуле и в бесконечности. Отсюда следует, что величина стремится к конечному пределу, когда траектория уходит в бесконечность или приближается к притягивающему центру. Кроме того, каждая траектория, уходящая в бесконечность, имеет асимптоту, поскольку стремится к конечному пределу, когда и стремится к нулю.

Рис. 52.

Теперь можно перейти к классификации траекторий. Обозначим три области, указанные на рис. 51, цифрами 1, 2, 3, а разграничивающие их кривые — цифрами 12 и 23.

1. ; и возрастает от нижнего предела до причем . В этом случае существует лишь один тип траектории, в виде розетки, расположенной внутри окружности (рис. 52). Угол определяется формулой

12. h = 0. Как уже отмечалось, это — аномальный случай. Существует лишь одна траектория, розетка, вписанная в окружность . Ее уравнением будет

Для (притяжение по закону это есть окружность

Рис. 53.

2. Каждой точке области соответствуют две траектории: розетка при и траектория типа гиперболы при и (на рис. 53 показана только траектория второго типа). Гиперболическая траектория имеет внешнее касание с окружностью и при больших значениях она близка к прямой.

23. . Траектория представляет либо окружность (движение неустойчивое), либо спираль, наворачивающуюся на эту окружность снаружи или изнутри; в этих случаях имеем лимитационное движение (рис. 54).

3. . Траектория одним концом уходит в бесконечность, а другим концом идет к притягивающему центру (рис. 55). Предельным случаем является прямая, проходящая через притягивающий центр.

Наиболее примечательным, пожалуй, является тот факт, что при все возможные траектории принадлежат, по существу, к одному и тому же типу.

Рис. 54.

Рис. 55.

В следующем параграфе мы укажем точную форму траекторий для случая