§ 17.7. Притяжение к центру по закону ...
Пусть частица движется в плоскости в поле притягивающих сил с потенциалом
(на единицу
массы), где
целое число, большее двух. Уравнения (17.3.5) принимают вид
где
Эти уравнения легко могут быть получены из общей теории § 17.3 или, при соответствующем изменении обозначений, из уравнения (5.2.14). График функции
для положительных значений и представлен на рис. 50. Если принять некоторое фиксированное (положительное) значение
то изменение
приведет к смещению кривой как твердой линии вверх или вниз.
Рис. 50.
Рис. 51.
Имеется два критических значения
Это, во-первых, значение
при котором
имеет два совпадающих нуля
и один положительный нуль и
где
И, во-вторых, значение
где
При этом значении
функция
имеет два совпадающих нуля и
, где
Критическими кривыми на диаграмме
а (рис. 51) будут
Здесь
определяется уравнением (17.7.4). Полуплоскость
исключается, а в верхней полуплоскости мы имеем три области, разделенные критическими кривыми. Рассмотрим определенное значение а (т. е. точки на некоторой горизонтальной прямой на рис. 51) и проследим за теми изменениями, которые происходят при увеличении
от
до
При
и при движении слева направо (т. е. из области
в область
см. § 17.5) система траекторий распадается на две системы. Здесь нужна известная осторожность при применении общей теории, иначе можно прийти к выводу, что при
имеем устойчивую круговую траекторию на линии
. Однако
это не имеет физического смысла, ибо
более того, теория устойчивости неприложима к этому случаю, поскольку малым изменениям и здесь вовсе не соответствуют малые перемещения в пространстве. Как указывалось в § 17.6, следует иметь в виду возможность такого рода аномалий, обусловленных свойствами выбранной системы координат. При
(знак
совпадает со знаком
и при переходе слева направо (т. е. из области §1 в область 25) система траекторий исчезает.
Прежде чем перейти к классификации возможных типов траекторий на плоскости, заметим, что интеграл
сходится в нуле и в бесконечности. Отсюда следует, что величина
стремится к конечному пределу, когда траектория уходит в бесконечность или приближается к притягивающему центру. Кроме того, каждая траектория, уходящая в бесконечность, имеет асимптоту, поскольку
стремится к конечному пределу, когда и стремится к нулю.
Рис. 52.
Теперь можно перейти к классификации траекторий. Обозначим три области, указанные на рис. 51, цифрами 1, 2, 3, а разграничивающие их кривые — цифрами 12 и 23.
1.
; и возрастает от нижнего предела
до
причем
. В этом случае существует лишь один тип траектории, в виде розетки, расположенной внутри окружности
(рис. 52). Угол
определяется формулой
12. h = 0. Как уже отмечалось, это — аномальный случай. Существует лишь одна траектория, розетка, вписанная в окружность
. Ее уравнением будет
Для
(притяжение по закону
это есть окружность
Рис. 53.
2.
Каждой точке области соответствуют две траектории: розетка при
и траектория типа гиперболы при и
(на рис. 53 показана только траектория второго типа). Гиперболическая траектория имеет внешнее касание с окружностью
и при больших значениях
она близка к прямой.
23.
. Траектория представляет либо окружность
(движение неустойчивое), либо спираль, наворачивающуюся на эту окружность снаружи или изнутри; в этих случаях имеем лимитационное движение (рис. 54).
3.
. Траектория одним концом уходит в бесконечность, а другим концом идет к притягивающему центру (рис. 55). Предельным случаем является прямая, проходящая через притягивающий центр.
Наиболее примечательным, пожалуй, является тот факт, что при
все возможные траектории принадлежат, по существу, к одному и тому же типу.
Рис. 54.
Рис. 55.
В следующем параграфе мы укажем точную форму траекторий для случая