Глава VIII. ПРИЛОЖЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ЛАГРАНЖА

§ 8.1. Дифференциальные уравнения.

Рассмотрим теперь приложения лагранжевых уравнений движения к некоторым конкретным механическим системам. Начнем с консервативной голономной системы с к степенями свободы. Положение системы в момент t задается лагранжевыми координатами причем наименьшее возможное значение равно k. Будем предполагать, что координаты выбраны именно таким образом, т. е. что Составим функцию Лагранжа Уравнения движения запишутся в форме

Мы имеем систему совокупных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка относительно неизвестных функций Система (6.6.3), вообще говоря, определяет величины как функции от во всяком случае в некотором интервале времени, если в момент известны значения

Когда мы говорим о решении динамической задачи, мы имеем в виду определение величин как функций для всех вещественных значений или по крайней мере для некоторого интервала значений когда величины в момент заданы произвольным образом. Получить такие решения удается лишь для немногих достаточно простых задач. Типичным примером могут служить малые колебания

Однако обычно приходится довольствоваться менее полным решением. Но даже в том случае, когда не представляется возможным получить явные формулы, определяющие величины как функции параметров все же можно установить общий характер движения и выяснить некоторые важные характеристики его. Кроме того, с помощью численных методов интегрирования или разложения в степенные ряды (§ 21.4) можно получить приближенные решения, справедливые для достаточно малых значений

Аналогичные замечания можно сделать и в отношении неголономных систем, хотя в этом случае дело обстоит несколько сложнее. В неголономных системах наименьшее возможное значение равно к причем имеются I уравнений связи

Уравнения движения имеют вид

Всего мы имеем уравнений и функций от подлежащих определению, а именно функции

Наконец, если имеется избыточных координат и соотношений

то к правым частям уравнений (6.6.3) или (6.6.4) следует добавить слагаемые

Появляются дополнительных неизвестных, именно множителей дополнительных уравнений (5.12.6).

Рассмотрим теперь применение уравнений Лагранжа к некоторым частным задачам.