Если обозначить 
то систему 
уравнений второго порядка (6.4.2) можно заменить системой 
уравнений первого порядка:
Уравнения теперь приводятся к виду
где 
— матрицы-столбцы, или векторы с 
составляющими, причем X — функция от 
Форма (6.4.4) играет важную роль, и в дальнейшем мы часто будем ею пользоваться. Мы уже встречались с ней в § 1.1, когда рассматривали движение одной частицы. Уравнения (6.4.3) или (6.4.4) можно рассматривать как уравнения, описывающие движение изображающей точки в пространстве 
измерений. Заметим, что первая группа уравнений — чисто геометрическая: эти уравнения просто определяют переменные 
и совершенно не связаны с принципами механики. Они не изменятся, если на систему будут действовать другие заданные силы. Напротив, последние 
уравнений зависят от законов движения и заданной системы сил. В приложениях, однако, обе эти группы уравнений объединяются в единую систему вида (6.4.4), и указанное различие этих групп теряет свое значение.
Значительно более удобно привести уравнения движения к форме (6.4.4) с помощью уравнений Гамильтона, которые будут рассмотрены в § 10.13 и в последующих главах.
Возвращаясь к уравнениям Лагранжа второго порядка, выразим уравнения движения явным образом через и 
что нам потребуется в дальнейшем. Согласно (6.1.6) 5
и
Далее, согласно (6.1.7)
и
где
уравнение Лагранжа записывается в форме
зависит только от 
уравнения Лагранжа линейны относительно вторых производных 
Кроме того, коэффициенты 
суть коэффициенты определенно-положительной квадратичной формы 
причем определитель 
не обращается в нуль ни при каких значениях 
так что уравнения (6.4.1) можно разрешить относительно 
зависят только от 
Для классической механики характерно то обстоятельство, что с помощью уравнений движения ускорение явным образом выражается через координаты, скорости и время. Этот факт уже отмечался нами в § 1.1, когда мы рассматривали движение свободной материальной точки.
