§ 29.7. Движение в окрестности равновесного решения.

Воспользуемся функцией Гамильтона (29.6.5) для изучения вопроса об устойчивости (в смысле первого приближения) системы трех точек Лагранжа. Рассмотрим сначала равновесное решение во вращающихся осях, причем для определенности возьмем решение, в котором частицы располагаются в вершинах равностороннего треугольника. Допустим, что существует решение уравнений движения, которое мало отличается от равновесного решения. Пусть есть равновесное решение. Положим

Формулы (29.7.1) определяют контактное преобразование. Новая функция Гамильтона, записанная в переменных не содержит линейных слагаемых. Так как остаются малыми, то первое приближение мы получим, если в уравнениях движения сохраним лишь линейные члены, что равносильно сохранению одних только квадратичных членов в функции Гамильтона. Указанное первое приближение определяется уравнениями

Выберем оси координат так, чтобы

Квадратичные слагаемые в правой части (29.6.5) не затрудняют составления функции нужно просто заменить переменные на переменные (Заметим, что нет нужды вычислять невозмущенные значения переменных Для вычисления членов обусловленных функцией 17, имеем

Квадратичными членами разложения будут

Рассуждая аналогичным образом относительно переменных получаем следующее выражение для членов второго порядка, обусловленных функцией

где

Таким образом, линейное приближение мы получаем из функции Гамильтона

Теперь мы можем вычислить правые части уравнений (29.7.2); эти уравнения имеют вид

где есть вектор Чтобы решить вопрос об устойчивости по первому приближению, необходимо знать собственные значения матрицы а. Имеем

где матрицы размером вида

Вычисление определителя размером в правой части (29.7.11) довольно затруднительно, однако задачу можно упростить, если воспользоваться следующим приемом. Имеем

В силу (29.7.11) уравнение

равносильно

где

а

Следовательно,

Теперь определитель размером можно вычислить непосредственно. Выполнив необходимые выкладки, придем к следующему уравнению для собственных значений матрицы А:

где

Если бы все корни уравнения (29.7.21) были простые и чисто мнимые, то можно было бы заключить, что исходное равновесное решение устойчиво по крайней мере в первом приближении. Однако на данной стадии исследования такого заключения сделать нельзя вследствие наличия множителя и повторения множителя в левой части уравнения (29.7.21). В следующем параграфе мы покажем, каким образом порядок системы можно понизить с 12 до 6. Для приведенной системы собственные значения будут определяться уравнением шестой степени

Это уравнение уже не содержит нежелательных множителей.