§ 16.3. Теорема об эквивалентности.

Главная функция

обладает тем свойством (см. (15.5.11)), что

где через обозначена функция Гамильтона, заданная как функция от Если в соотношение (16.3.1) вместо подставить их значения, выраженные через то получим функцию

и уравнение (16.3.2) примет вид

Пфаффова форма выраженная через представляет собой сумму полного дифференциала и пфаффовой формы не содержащей времени.

В более общем случае, определяя траекторию (в фазовом пространстве) значениями подходящих параметров (взятых вместо

параметров получаем соотношение

в котором а функции К зависят лишь от величин у являются независимыми функциями от и определяют траекторию точно так же, как ее определяют параметры Форма есть не что иное, как форма выраженная в новых параметрах. Этот результат, собственно говоря, нами уже был получен в § 15.8, п. 4, когда мы форму заменили на форму однако при этом мы ограничивали выбор новых параметров требованием, чтобы соответствующее преобразование было однородным контактным преобразованием. Здесь же выбор параметров у не стеснен никакими ограничениями. Отметим, что форма по существу, является не более общей, нежели форма поскольку первая из них всегда может быть сведена ко второй с помощью теоремы Пфаффа.

Уравнение Пфаффа (16.3.5) в точности эквивалентно дифференциальным уравнениям Гамильтона. Изучение главной функции показало, что решения уравнений Гамильтона удовлетворяют уравнению (16.3.5); остается доказать обратное, что функции

удовлетворяющие соотношению (16.3.5), удовлетворяют также и уравнениям Гамильтона. Однако целесообразней, по-видимому, дать самостоятельное доказательство всей теоремы.

Теорема об эквивалентности. Пусть функции

образуют систему функций от величины принадлежат к классу в области А переменных и в интервале изменения а якобиан

отличен от нуля для

1) Если есть заданная функция от переменных, принадлежащая к классу (в области пространства на которую для каждого t из I отображается область А при помощи соотношений (16.3.7)), а переменные при всех у из А тождественно удовлетворяют дифференциальным уравнениям

то имеет место равенство

где а коэффициенты зависят только от у. (Повторяющийся индекс означает суммирование от до , а повторяющийся индекс суммирование от до

2) Пусть существует функция такая, что пфаффова форма записанная в переменных имеет вид где а функции зависят только от у. Тогда функции тождественно удовлетворяют дифференциальным уравнениям

при всех у из области

Доказательство первое (прямая теорема). Запишем форму в переменных виде где

(здесь, как и раньше, знак суммы для краткости опущен). Докажем, что

Из соотношения (16.3.11) получаем

поскольку удовлетворяют равенствам (16.3.9). И так как

то

Введем теперь функцию такую, что

Тогда

и, следовательно,

где есть функция, зависящая только от у и не зависящая от t. Окончательно находим

что и требовалось доказать.

Доказательство второе (обратная теорема). Поскольку

имеем

Учитывая, что

получаем

Но так как

то уравнение (16.3.23) можно переписать в виде

Всего мы имеем таких уравнений, по одному для каждого у. Определитель из коэффициентов отличен от нуля, и, следовательно,

Теорема об эквивалентности, таким образом, полностью доказана.