§ 5.3. Сферический маятник.

Точка движется под действием силы тяжести по гладкой сфере радиуса а. В качестве лагранжевых координат возьмем полярные углы радиус-вектора, причем отсчет угла будем производить от вертикали, направленной вверх. Уравнения энергии и момента количества движения запишутся в виде

где безразмерные параметры (не являющиеся действительными значениями постоянных энергии и момента количества движения). Будем предполагать, что Высота энергетического уровня над центром сферы равна При движение невозможно; кроме того, требуется, чтобы а 0.

Решение почти не отличается от решения в примере Исключая из (5.3.1) и (5.3.2), находим

Обозначив через запишем это уравнение в следующей форме:

где

Уравнение (5.3.4) связывает и принадлежит к уже знакомому нам типу (1.2.10).

Чтобы определить траекторию точки на сфере, необходимо иметь соотношение, связывающее такое соотношение имеет вид

Полученные результаты можно представить в следующей компактной форме:

Рассмотрим движение, соответствующее заданным значениям Нужно, чтобы Если то единственным возможным

значением а является нуль, в этом случае точка находится в покое в наинизшем положении на сфере.

Построим график полинома третьей степени (рис. 6). Кривая имеет максимум в точке

При возрастании от —1 до увеличивается от — 1 до 0. Ордината кривой в точке равна

где

Чтобы движение было возможно, необходимо, чтобы выполнялось неравенство т. е. чтобы

Весьма удобный способ классификации различных возможных движений можно получить, построив вспомогательную диаграмму в координатах (рис. 7).

Рис. 6.

Рис. 7.

На этом рисунке изображена кривая Допустимые значения удовлетворяющие неравенствам (5.3.10), соответствуют точкам, расположенным в цезаштрихованной области плоскости, а также на границе этой области. При построении кривой следует иметь в виду, что при

Классификацию орбит теперь произвести просто. Имеется три класса кривых, удовлетворяющих следующим условиям:

Рассмотрим последовательно эти три возможности.

1) . Этот случай соответствует задаче о простом маятнике, рассмотренной в примере Кривая третьего порядка три раза пересекает ось z (рис. 6), причем

Координата отрицательна, — координата может быть как положительной, так и отрицательной. Движение вдоль оси z есть либрация между Траектория точки на сфере располагается между двумя

горизонтальными окружностями, поочередно касаясь их. Если определяемое формулой

есть число рациональное, то движение является периодическим. Полагая где - положительные целые числа, не имеющие общего множителя, получаем период равным

В самом деле, приращение при изменении z от до и обратно до равно

и орбита является периодической, если это приращение равно умноженному на некоторый рациональный множитель, т. е. если оно равно, скажем, период равен времени, в течение которого происходит полных колебаний между

Найдем теперь явное соотношение между Имеем

где через z обозначена производная новая безразмерная временная переменная, равная Перепишем уравнение (5.3.15) в виде

Обозначим

и

и введем функцию Если начало отсчета времени выбрать таким образом, чтобы при (т.е. то будем иметь

Тогда значение в момент t найдется из соотношения

в правую часть которого вместо z следует подставить его выражение из (5.3.17).

3) Этот случай относится к задаче о коническом маятнике. Частица движется по окружности в горизонтальной плоскости Период о равен где расстояние от центра сферы до плоскости, в которой происходит движение. Движение устойчиво в том смысле, что малое возмущение приводит к движению типа 2), ограниченному узкой полосой на сфере в окрестности первоначальной круговой траектории.

В заключение отметим, что аномальную точку можно считать предельной для каждого из трех случаев. Частица находится в покое в положении устойчивого равновесия в наинизшей точке сферы.