§ 23.5. Нулевые показатели.

В задаче о движении в окрестности периодической орбиты один из характеристических показателей всегда равен нулю. (В задаче о движении в окрестности положения равновесия это не имеет места.) В самом деле, так как заданное периодическое движение удовлетворяет уравнениям

то имеем

и уравнения в вариациях удовлетворяются функциями

Таким образом, уравнения в вариациях имеют чисто периодическое решение с периодом а, что возможно лишь при условии, если одйо из X равно нулю.

Предположим, далее, что исходная периодическая орбита соответствует значению в однопараметрическом семействе периодических орбит

где Тогда

Решение уравнений в вариациях можно получить путем дифференцирования уравнений (23.5.4) по а. Имеем

где обозначает производную от по аргументу. В этом случае решение, кроме периодических членов, содержит члены вида где

периодическая функция. Результаты § 23.4 показывают, что в этом случае два характеристических показателя оказываются равными нулю. (Если , аргументация теряет силу, но результат остается справедливым, так как в этом случае имеются два независмых периодических решения уравнений в вариациях:

Примером такого однопараметрического семейства периодических орбит может служить семейство круговых орбит в центральном силовом поле с потенциалом Для этого случая (см. пример 23.2В) имеем

и уравнения движения записываются в виде

Матрица А имеет вид

где через обозначено постоянное значение а через значение в момент t в первоначальном движении.

Если первоначальное движение представляет собой вращение по окружности радиуса а с угловой скоростью со, то и Элементы матрицы А при этом постоянны,

и характеристические показатели вычисляются как корни уравнения

Два корня этого уравнения равны нулю, а два других при произвольном а равны нулю в том и только в том случае, если

для всех значений а. При этом

т. е. притяжение обратно пропорционально кубу расстояния.

Рассмотрим более подробно случай притяжения по закону где целое число. В этом случае

и характеристические показатели находятся из уравнения

Для различных значений имеем:

В последнем случае а — число вещественное и положительное: Нормальная форма Жордана матрицы А имеет вид:

где чисто мнимое, если и вещественное, если