§ 21.7. Интегральные инварианты порядка m.

Начнем со случая автономной системы. Предварительно докажем следующую лемму. Лемма. Обозначим через определитель Якоби:

а через дивергенцию векторного поля X:

Тогда

Производная определителя может быть представлена в виде суммы определителей, получаемых путем последовательного дифференцирования элементов каждой строки. Таким образом, может быть представлено в виде суммы определителей, первый из которых равен

элемент первой строки этого определителя равен

Вычитая из элементов первой строки соответствующие элементы строки, умноженные на пробегает все значения от 2 до мы не изменяем величины определителя. В образованном таким образом определителе элемент первой строки будет равен так что первый из определителей, полученных при дифференцировании, будет равен Рассуждая подобным образом и дальше, приходим к равенству

что и доказывает лемму.

Рассмотрим теперь замкнутую область конечного объема Пусть эта область переводится в область преобразованием Если А — объем области то

Пространство считается здесь евклидовым. В результате получаем

Уравнение (21.7.8) дает наглядную геометрическую интерпретацию понятию дивергенции векторного поля Применяя полученный результат к малому объему -мерного пространства, приходим к формуле

где V — удельный объем жидкости в точке х. Для этот результат хорошо известен в классической гидродинамике.

Найдем теперь необходимые и достаточные условия того, чтобы интеграл

был интегральным инвариантом. Скалярную функцию от будем считать принадлежащей к классу Имеем

Следовательно,

Пользуясь формулой (21.7.3), находим

Равенство (21.7.12) можно переписать теперь в виде

Итак, окончательно при произвольном выборе в том и только в том случае, если

Функции удовлетворяющие линейному уравнению в частных производных (21.7.15), Якоби назвал множителями для системы (21.1.1). Уравнение, которому удовлетворяют множители, можно записать в одной из следующих форм:

К этому же результату можно прийти и с помощью равенства (21.7.9). Рассмотрим бесконечно малую область -пространства объема V? Имеем

Отсюда получается требуемый результат.

Система (21.6.15) дает простой пример интегрального инварианта порядка Таким инвариантом является интеграл

Это следует из уравнения (21.7.15) или непосредственно из решения (21.6.16).

Теорию можно обобщить на неавтономные системы и подынтегральные функции зависящие не только от но и от t. Формула (21.7.3) сохраняет силу и в неавтономном случае; если функция содержит то условие (21.7.15) заменяется следующим:

Тем не менее мы сохраним термин множитель лишь для тех функций которые не содержат t.