§ 18.14. Выражение r как функции от t.

Поскольку уравнение (18.12.9) содержит только можно воспользоваться способом § 1.3, развитым для систем с одной степенью свободы, и выразить в виде функции от t. Отметим, между прочим, что этот способ впервые был применен именно в задаче о движении планеты.

Уравнение (18.12.9) можно переписать в следующей форме:

Имеем

так что представляет эксцентрический угол (в перигелии в астрономии эту величину называют эксцентрической аномалией. В этих обозначениях уравнение (18.14.1) принимает вид

Отсюда получаем уравнение Кеплера, связывающее положение планеты на орбите со временем:

где Период обращения по эллипсу равен где среднее движение представляет среднее по времени значение угловой скорости радиус-вектора планеты; вращаясь равномерно с этой угловой скоростью, радиус-вектор совершает один оборот за период обращения планеты. Уравнение Кеплера было получено нами раньше (см. (5.2.65) и (5.5.6)).

Чтобы найти явную зависимость между представим в виде ряда Фурье:

где I обозначает а коэффициент определяется по формуле

и так как из то получаем

где функция Бесселя:

Таким образом, мы выразили как функцию от t.

Для простых расчетов можно вместо явного соотношения воспользоваться уравнениями (18.14.2) и (18.14.4) и выразить через t с помощью промежуточной переменной Аналогичным способом можно выразить и через

и, следовательно, косвенным образом через t.