§ 18.14. Выражение r как функции от t.
Поскольку уравнение (18.12.9) содержит только 
можно воспользоваться способом § 1.3, развитым для систем с одной степенью свободы, и выразить 
в виде функции от t. Отметим, между прочим, что этот способ впервые был применен именно в задаче о движении планеты.
Уравнение (18.12.9) можно переписать в следующей форме:
Имеем
так что 
представляет эксцентрический угол (в перигелии 
в астрономии эту величину называют эксцентрической аномалией. В этих обозначениях уравнение (18.14.1) принимает вид
Отсюда получаем уравнение Кеплера, связывающее положение планеты на орбите со временем:
где 
Период обращения по эллипсу равен 
где среднее движение 
представляет среднее по времени значение угловой скорости радиус-вектора планеты; вращаясь равномерно с этой угловой скоростью, радиус-вектор совершает один оборот за период обращения планеты. Уравнение Кеплера было получено нами раньше (см. (5.2.65) и (5.5.6)).
Чтобы найти явную зависимость между 
представим 
в виде ряда Фурье:
где I обозначает 
а коэффициент 
определяется по формуле
и так как из 
то получаем
где 
функция Бесселя:
Таким образом, мы выразили 
как функцию от t.
Для простых расчетов можно вместо явного соотношения воспользоваться уравнениями (18.14.2) и (18.14.4) и выразить 
через t с помощью промежуточной переменной 
Аналогичным способом можно выразить и через 
и, следовательно, косвенным образом через t.
