Глава VII. ТЕОРИЯ ПОВОРОТОВ

§ 7.1. Движение твердого тела.

При исследовании движения твердого тела с помощью уравнений Лагранжа кинетическую энергию тела мы выражаем через лагранжевы координаты, выбранные для описания его положения и ориентации в пространстве. Те же формулы используются и при исследовании движения механических систем, содержащих твердые тела. Поэтому рассмотрим подробнее теорию движения твердого тела.

Мы не ограничимся составлением функции Лагранжа для твердого тела. Наше исследование будет значительно шире, и мы получим ряд важных теорем, относящихся к перемещению и движению твердого тела. Использование некоторых из этих результатов для составления уравнений Лагранжа является лишь одним из многочисленных их приложений.

Рассмотрим механическую систему, состоящую из одного твердого тела. Положение твердого тела в пространстве определяется положением некоторой фиксированной в нем точки, например центра тяжести и ориентацией тела. В соответствии с этим кинетическую энергию тела можно представить в виде суммы двух частей, одна из которых определяется движением центра тяжести а другая — движением относительно центра тяжести, т. е. изменением ориентации тела при центре тяжести, принимаемом неподвижным (теорема Кёнига). Имеем

где координаты определяют положение частицы относительно центра тяжести Поскольку приходим к теореме Кёнига:

В этом равенстве есть масса тела. Кинетическая энергия представлена в виде суммы двух частей. Первая из них выражает кинетическую энергию в случае, если бы вся масса тела была сосредоточена в его центре тяжести а вторая — кинетическую энергию вращения тела вокруг центра тяжести как вокруг неподвижной точки.

Чтобы определить изменение положения тела, необходимо сначала определить перемещение точки а затем изменение ориентации тела. Разделим две эти операции и начнем с изучения второй из них: изменения ориентации. Итак, мы переходим к исследованию движения твердого тела с одной закрепленной точкой.