§ 8.11. Стержень во вращающейся плоскости.

Предположим, что стержень совершает движение по гладкой плоскости, которая вращается с угловой скоростью со около горизонтальной оси, лежащей в самой плоскости. Пусть — оси, связанные с плоскостью, причем за ось возьмем неподвижную горизонтальную ось вращения, а ось расположим ниже горизонтальной оси под углом к ней. Если угол наклона стержня к оси в некоторый момент t обозначить через , то можно написать

где координаты центра тяжести стержня, а его момент инерции относительно оси, проходящей через перпендикулярно к стержню. Эта задача интересна тем, что выражение для имеет вид суммы трех отдельных функций Лагранжа, каждая из которых зависит лишь от одной координаты, и поэтому движение по каждой координате не зависит от движения по остальным координатам. Система является полностью разделимой: ее можно трактовать как три независимые системы. Явление полной разделимости наиболее ярко выступает в теории малых колебаний, излагаемой в следующей главе. В дальнейшем (гл. XVII и XVIII) мы рассмотрим разделимые, но не полностью разделимые системы; в таких системах изменение одной из координат хотя и не вполне автономно, но все же в некотором смысле (более подробно см. ниже) оно происходит независимо от других. (Следует заметить, что рассматриваемая нами здесь система не является разделимой системой в обычном смысле, поскольку теория разделимых систем, излагаемая в гл. XVII и XVIII, относится только к таким системам, для которых функция Лагранжа не содержит в нашем случае время t входит явным образом в выражение для Уравнения движения имеют вид

Значение остается постоянным (что, впрочем, очевидно), а значение в некоторый момент t равно

где а и — значения в момент Уравнение для можно представить в виде

где Мы получили уравнение (5.2.10), описывающее движение простого маятника.