Глава XVIII. СИСТЕМЫ С n СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ, ДОПУСКАЮЩИЕ РАЗДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ

§ 18.1. Система Лиувилля

В § 17.2 мы видели, что система с двумя степенями свободы допускает разделение переменных, если ее кинетическая и потенциальная энергии имеют следующие выражения:

где функции только от функции только от у. Обобщим эти выражения на случай системы с степенями свободы. Тогда будем иметь

где являются функциями от Подобные системы называют системами Лиувилля, и, естественно, встает вопрос о возможности разделения переменных в таких системах.

Покажем, что переменные разделяются. Модифицированное уравнение в частных производных для системы (18.1.2) может быть записано в форме

Сразу получаем полный интеграл

Функции определяются из уравнений

где через обозначена сумма Среди произвольных постоянных постоянная энергии играет особую роль. В обозначениях, принятых в § 16.9, полный интеграл записывается в виде

Таким образом, система допускает разделение переменных, и интегралы лагранжевых уравнений движения имеют вид

где

Интегралы уравнений Гамильтона получаются путем присоединения к уравнениям (18.1.8) уравнений

Мы поступаем здесь так же, как и в случае системы с двумя степенями свободы. Интегралы лагранжевых уравнений движения записываем в следующей краткой форме:

Здесь х играет роль «искусственного времени» (см. § 17.3). Уравнения (18.1.11), между прочим, можно сразу получить из (18.1.8) или, еще проще, путем сравнения (18.1.10) с уравнениями

Общий характер движения можно представить себе совершенно так же, как и в простом случае двух степеней свободы. Появление радикалов в знаменателях соотношений (18.1.11) не является неожиданным. В случае либрационного движения знак перед радикалом выбирается следующим образом: если возрастает, берется знак плюс, а если убывает — то знак минус. Более подробное исследование будет проведено в следующем параграфе, где рассматривается более общая система, чем система Лиувилля.