§ 30.3. Условия вещественности.

Уравнения (30.2.1) можно записать в следующей форме:

где есть вектор причем вещественно, если вещественны Преобразование приводит уравнение (30.3.1)

и уравнение (30.2.17) принимает форму

Обозначим через ряды, которые получаются из разложений для при замене коэффициентов комплексно-сопряженными. Из (30.3.3) тогда получаем

ибо вещественно, когда вещественно х.

Определим матрицу с помощью формулы

Правую часть уравнения (30.3.4) тогда можно записать в виде

Отсюда видно, что уравнение (30.3.3) останется в силе, если заменить у на

Рассмотрим преобразование Ему эквивалентно преобразование которое показывает, что

(мы здесь воспользовались обозначениями § 25.10). В частности, имеем

Две первые составляющие равны

и

Остальные составляющие имеют разложения, начинающиеся с квадратичных членов по переменным

Уравнение (30.3.3) будет удовлетворяться, если

заменить соответственно на

Отсюда в силу единственности решения, удовлетворяющего заданным условиям, получаем

Далее имеем

Равенства (30.3.13) показывают, что х будет вещественным, если

Отметим важный частный случай, когда все собственные значения чисто мнимые, а собственные векторы, образующие столбцы матрицы С, нормированы, так что все множители равны единице, и столбец матрицы С (для имеет элементы, сопряженные соответствующим элементам столбца. При этих условиях Ту есть вектор а есть матрица