Глава V. ЛАГРАНЖЕВЫ КООРДИНАТЫ

§ 5.1. Выбор лагранжевых координат.

До сих пор мы пользовались декартовыми координатами. В дальнейшем мы не будем себя связывать ограничениями в выборе системы координат и перейдем к координатам более общего типа. Введение таких координат может быть сопряжено с известными трудностями, однако это — трудности скорее алгебраического характера, чем динамического. Нужно отличать трудности, присущие самому изучаемому явлению, от трудностей, связанных с выбранной системой координат.

Выбор лагранжевых координат производится следующим образом. Выбираются параметров значения которых определяют конфигурацию системы в момент времени t. Декартовы координаты точек системы будут некоторыми функциями от (В большей части случаев координаты х являются функциями только от и не зависят от t.) Выбор координат должен быть произведен таким образом, чтобы их значения представляли все возможные конфигурации системы, а не некоторую совокупность возможных конфигураций.

Как мы увидим, для голономной системы число можно взять равным числу степеней свободы k. Для неголономной системы наименьшее значение равно к где I есть инвариант системы, определяемый уравнениями связи.

В дальнейшем (§§ 5.7 и 5.8) будет указана формальная процедура перехода от декартовых координат к лагранжевым. Однако в ряде задач выбор лагранжевых координат напрашивается сам, и потому нет необходимости обращаться к формальным методам, развитым для общей механической системы.

Ниже приводятся несколько примеров.

1) Простой маятник. Тяжелая точка движется без трения по окружности в вертикальной плоскости. Такое движение можно осуществить, например, заставив бусинку скользить по гладкой проволоке, изогнутой в форме окружности радиуса а. Или же можно частицу соединить с концом невесомого стержня длины а, другой конец которого шарнирно закреплен в точке О, так что стержень может свободно качаться в вертикальной плоскости около этой точки. Положение частицы на окружности будет определяться углом отсчитываемым от наинизшей точки окружности. Декартовы координаты частицы х, у будут связаны с лагранжевой координатой формулами

Ось здесь горизонтальна, а ось направлена вертикально вниз.

2) Центральная орбита. Частица совершает плоское движение под действием силы, все время направленной в начало координат О. В качестве лагранжевых координат возьмем полярные координаты Декартовы координаты х, у будут связаны с лагранжевыми координатами формулами

3) Сферический маятник. Материальная точка скользит под действием силы тяжести по гладкой поверхности сферы радиуса а с центром в точке О. В качестве лагранжевых координат выберем полярные углы где угол между вектором и направленной вверх вертикальной осью азимутальный угол между плоскостью и координатной плоскостью . В данном случае

4) Твердая пластинка, движущаяся в своей плоскости. В качестве лагранжевых координат возьмем координаты

1] центра тяжести (центра масс) пластинки относительно неподвижной системы отсчета и угол 6, образуемый прямой проведенной на пластинке, с неподвижной осью Если координаты некоторой точки пластинки в системе связанной с самой пластинкой, то будем иметь

5) Твердое тело, движущееся в пространстве. Система является голономной с шестью степенями свободы. В качестве лагранжевых координат можно выбрать координаты центра тяжести относительно неподвижной системы и три угла , определяющие ориентацию тела.

Возьмем прямоугольный триэдр связанный с телом (обычно в качестве осей выбирают главные оси инерции тела в точке и матрицу направляющих косинусов I

Элементами первой строки этой матрицы служат направляющие косинусы оси по отношению к осям системы элементами второй строки — направляющие косинусы оси и элементами третьей строки — направляющие косинусы оси Элементы матрицы I являются известными функциями от углов явные выражения для этих функций будут приведены позже (§ 7.11) для двух способов выбора углов Для точки с координатами с в системе справедливы формулы

Их можно записать в матричной форме;

Здесь вектор -вектор а — вектор матрица, полученная из I транспонированием.

В ряде случаев триэдр связанный с телом, удобней обозначать через а матрицу I записывать в виде

6) В предыдущих примерах мы имели голономные системы и число лаграижевых координат равнялось числу к степеней свободы механической системы. В заключение приведем простой пример неголономной системы.

Стержень совершает плоское движение. Наложенная идеальная связь такова, что точка может двигаться только вдоль направления (см. § 2.1). В качестве лагранжевых координат выберем координаты точки по отношению к неподвижным осям и угол 9 наклона отрезка к оси Возможные перемещения удовлетворяют уравнению (см.

Это уравнение не допускает интегрирующего множителя. Система имеет две степени свободы но число лагранжевых координат равно трем Декартовы координаты точки, находящейся на стержне на расстоянии а от точки выражаются формулами

Несмотря на то, что система имеет лишь две степени свободы, множество достижимых конфигураций является трехпараметрическим. В самом деле, систему из любого начального положения можно перевести в любое конечное. Это было доказано уже в § 2.1.