Глава V. ЛАГРАНЖЕВЫ КООРДИНАТЫ
§ 5.1. Выбор лагранжевых координат.
До сих пор мы пользовались декартовыми координатами. В дальнейшем мы не будем себя связывать ограничениями в выборе системы координат и перейдем к координатам более общего типа. Введение таких координат может быть сопряжено с известными трудностями, однако это — трудности скорее алгебраического характера, чем динамического. Нужно отличать трудности, присущие самому изучаемому явлению, от трудностей, связанных с выбранной системой координат.
Выбор лагранжевых координат производится следующим образом. Выбираются
параметров
значения которых определяют конфигурацию системы в момент времени t. Декартовы координаты
точек системы будут некоторыми функциями от
(В большей части случаев координаты х являются функциями только от
и не зависят от t.) Выбор координат
должен быть произведен таким образом, чтобы их значения представляли все возможные конфигурации системы, а не некоторую совокупность возможных конфигураций.
Как мы увидим, для голономной системы число
можно взять равным числу степеней свободы k. Для неголономной системы наименьшее значение
равно к
где I есть инвариант системы, определяемый уравнениями связи.
В дальнейшем (§§ 5.7 и 5.8) будет указана формальная процедура перехода от декартовых координат к лагранжевым. Однако в ряде задач выбор лагранжевых координат напрашивается сам, и потому нет необходимости обращаться к формальным методам, развитым для общей механической системы.
Ниже приводятся несколько примеров.
1) Простой маятник. Тяжелая точка движется без трения по окружности в вертикальной плоскости. Такое движение можно осуществить, например, заставив бусинку скользить по гладкой проволоке, изогнутой в форме окружности радиуса а. Или же можно частицу соединить с концом невесомого стержня длины а, другой конец которого шарнирно закреплен в точке О, так что стержень может свободно качаться в вертикальной плоскости около этой точки. Положение частицы на окружности будет определяться углом
отсчитываемым от наинизшей точки окружности. Декартовы координаты частицы х, у будут связаны с лагранжевой координатой
формулами
Ось
здесь горизонтальна, а ось
направлена вертикально вниз.
2) Центральная орбита. Частица совершает плоское движение под действием силы, все время направленной в начало координат О. В качестве лагранжевых координат возьмем полярные координаты
Декартовы координаты х, у будут связаны с лагранжевыми координатами формулами