§ 16.2. Теорема Гамильтона — Якоби (доказательство первое).

Если

или, короче,

представляет полный интеграл дифференциального уравнения Гамильтона в частных производных

то интегралы гамильтоновых уравнений движения даются соотношениями

где через обозначены новых произвольных постоянных. Уравнения (16.2.4) и (16.2.5) определяют как функции от зависящие еще от произвольных постоянных Уравнения (16.2.4) дают решение задачи Лагранжа: определяют движение в -пространстве. Уравнения же (16.2.4) вместе с (16.2.5) дают решение задачи Гамильтона, т. е. определяют движение в фазовом пространстве.

Полный интеграл есть функция класса содержащая произвольных постоянных (а также аддитивную постоянную причем определитель

элемент строки и столбца которого равен нигде в области изменения и а не обращается в нуль. Докажем, что функции

определяемые из уравнений (16.2.4), (16.2.5), удовлетворяют уравнениям Гамильтона при произвольных значениях или, во всяком случае, при их произвольных значениях в некоторой области

Функция удовлетворяет уравнению (16.2.3) при всех значениях в соответствующей области, так что, подставляя в это уравнение полный интеграл и дифференцируя полученное тождество по находим

(через здесь обозначена частная производная Кроме того, уравнение

тождественно удовлетворяется, если вместо функций подставить их значение (16.2.7). Тогда после дифференцирования по t получим

Символом — здесь обозначена скорость, которая ранее обозначалась через это потребовалось в связи с тем, что в данном случае кроме зависит еще от параметров Иными словами, мы теперь рассматриваем совокупность траекторий, а не отдельную траекторию. Поскольку имеем

и из уравнений (16.2.9) и (16.2.11) находим

Всего имеем таких уравнений, по одному для каждого а. Определитель (16.2.6) из коэффициентов не равен нулю, следовательно,

Подставляя полный интеграл в уравнение (16.2.3) и дифференцируя тождество по находим

Уравнение

удовлетворяется тождественно, если вместо подставить их выражения через Проделав это и продифференцировав результат по получим

и с помощью (16.2.15) и (16.2.14) получаем уравнение (16.2.17) в виде

Аналогичным образом получаем уравнений

Уравнения (16.2.14) и (16.2.20) показывают, что функции определяемые соотношениями (16.2.7), (16.2.8), удовлетворяют уравнениям Гамильтона

при произвольных значениях что и доказывает теорему.

Итак, с помощью любого полного интеграла дифференциального уравнения Гамильтона в частных производных можно получить полное решение задачи Гамильтона, т. е. интегралы гамильтоновых уравнений движения. Дифференциальное уравнение для функции впервые было получено Гамильтоном в 1834 г., а доказательство всей теоремы было дано Якоби в 1837 г.