§ 16.6. Однородное поле.

Рассмотрим теперь приложения теоремы Гамильтона — Якоби к решению конкретных задач. Начнем с исследования трех простых примеров, для которых в § 15.9 мы нашли явный вид главной функции. Эта функция сама представляет полный интеграл уравнения Гамильтона в частных производных, но те полные интегралы, которые мы получим для каждого из рассматриваемых случаев, фактически не будут главными функциями.

Рассмотрим движение частицы в плоскости под действием однородного поля ( Считая массу частицы равной единице, можем написать

Уравнение Гамильтона в частных производных запишется в виде

Требуется найти решение этого уравнения, содержащее две произвольные постоянные. Легко убедиться, что найденная в § 15.9 главная функция

удовлетворяет уравнению (16.6.2) при произвольных значениях

Наша задача, однако, состоит в том, чтобы указать, как найти полный интеграл. Поскольку функция не содержит а координата х является циклической, можем написать

Подставляя это выражение в уравнение (16.6.2), получаем

где

(Легко установить геометрический смысл параметра : это — наибольшая высота, достигаемая движущейся частицей.) Для имеем выражение

(При желании можно, конечно, вычислить последний интеграл, но в этом нет необходимости.) Таким образом, мы получаем полный интеграл, содержащий два параметра и :

Движение в плоскости описывается уравнениями

которые, как легко видеть, совпадают с известными элементарными формулами.

Уравнения (16.6.9) можно переписать в виде

Тогда станет ясным смысл введенных параметров:

Здесь — координаты начальной точки в момент начальные скорости. Заметим, что

и

(постоянная к, как уже указывалось, равна наибольшей высоте подъема).