§ 13.14. Теоремы Пуансо и Сильвестра.

Как и ранее, будем предполагать, что центр тяжести находится в покое. Рассмотрим эллипсоид, связанный с телом и движущийся вместе с ним; пусть уравнение его в системе имеет вид

Перпендикуляр, опущенный из на плоскость, касательную к эллипсоиду в точке имеет длину а направляющие косинусы нормали к эллипсоиду в точке равны

Так как вектор момента количеств движения постоянен, касательная плоскость к эллипсоиду в точке будет неподвижна; обозначим ее через со. Таким образом, при свободном движении тела эллипсоид (13.14.1) будет катиться по плоскости со; центр эллипсоида при этом будет оставаться неподвижным. Угловая скорость будет равна расстоянию от центра эллипсоида до точки касания с плоскостью со. В этом состоит теорема Пуансо.

Сильвестр заметил, что если бы эллипсоид (13.14.1) представлял собой однородное твердое тело, свободно закрепленное в точке и катился бы по плоскости со без воздействия на него сил (кроме реакций в точках то это качение происходило бы точно так же, как происходит качение эллипсоида, связанного со свободно движущимся телом (если, конечно, в обоих случаях одна и та же начальная угловая скорость). Система имеет только одну степень свободы, и нам остается показать, что когда твердый эллипсоид, закрепленный в центре, катится по шероховатой плоскости, со пропорционально Если массу эллипсоида обозначить через а полуоси его — через то кинетическая энергия будет иметь следующее выражение:

С другой стороны,

где (постоянное) расстояние от неподвижного центра эллипсоида до касательной плоскости. Поскольку постоянно, со пропорционально что и требовалось доказать.