Глава X. ДАЛЬНЕЙШИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ЛАГРАНЖА

§ 10.1. Исключение координат.

Рассмотрим голономную систему с степенями свободы, описываемую лагранжевыми координатами функция Лагранжа которой не содержит t. Остановимся более подробно на случае, когда некоторые из координат системы являются циклическими (§ 6.11).

Пусть циклические координаты. Поскольку они не входят в функцию Лагранжа, первые уравнений Лагранжа дают циклические интегралы

Постоянные здесь определяются начальными условиями. Из уравнений (10.1.1), линейных относительно можно выразить как линейные функции от

Подставляя теперь из (10.1.2) в функцию

получаем функцию

Функцию называют функцией Рауса; она образуется из функции (10.1.3) путем замены в ней первых на

Если первоначальная система натуральная, так что

то уравнения (10.1.2) принимают вид

где коэффициенты для выражаются так же, как в формуле (9.6.7), а для равны

Функцию Рауса можно записать в виде

здесь однородная форма степени от коэффициенты которой представляют собой степени от Квадратичная форма не является, конечно, первоначальной функцией кинетической энергии; тем не менее она по-прежнему представляет определенно-положительную форму, так как, когда все равны нулю, она принимает значение кинетической энергии.

Докажем, что играет роль функции Лагранжа для механической системы с координатами (так называемые явные координаты). Мы свели, таким образом, первоначальную задачу к задаче для системы с степенями свободы; процесс такого сведения называют исключением координат. Циклические координаты появляются обычно в системах, [включающих гироскопы; поэтому системы, содержащие циклические коордипаты, иногда называют гироскопическими системами (§ 9.6).

Заметим, что вовсе не обязательно исключать все циклические координаты. Ясно, что координаты должны быть циклическими, но среди остальных координат также могут быть циклические. Например, в известной задаче о спящем волчке движение оси удобно изучать, применяя процесс исключения лишь к одной координате так что функция Лагранжа будет содержать координаты Подобная процедура в ряде случаев оказывается полезной, несмотря на то что координата тоже является циклической, если ось вертикальна.

Покажем теперь, что функция может применяться в качестве функции Лагранжа с координатами Составим полную вариацию функции (варьируя также и постоянные но не варьируя время тогда будем иметь

Отсюда находим

и

С помощью уравнений движения Лагранжа для из (10.1.8) получаем

что и требовалось доказать.

Обычно нас не очень интересуют значения циклических координат в момент но если решение уравнений (10.1.10) получено, то значения в момент t могут быть найдены из (10.1.9).