§ 20.9. Уравнение Ван-дер-Поля.

Изучение теоремы Пуанкаре — Бендиксона мы закончим рассмотрением уравнения Ван-дер-Поля (20.7.5)

к которому применим изложенную выше теорию.

Уравнение, соответствующее (20.7.7), имеет вид

а эквивалентная система уравнений первого порядка записывается в виде

Эта система, как мы знаем, обладает одним единственным предельным циклом. Движение, описываемое уравнением (20.9.2), стремится к некоторому периодическому колебанию.

Представляется интересным приближенно определить форму предельного цикла в двух крайних случаях, когда очень мало и когда очень велико.

1) Если очень мало, то уравнение (20.9.2) почти не отличается от уравнения гармонического движения. Если бы равнялось нулю, то траекториями для системы (20.9.3) были бы окружности; если же очень мало, то единственная оставшаяся циклическая траектория будет весьма близка к окружности.

Рис. 95.

Рис. 96.

Радиус этой окружности можно найти из энергетических соображений (см. (20.8.6)); интеграл за полный период должен быть равен нулю. Таким образом,

Интеграл здесь берется вдоль полуокружности радиуса в верхней полуплоскости. Радиус почти кругового предельного цикла получается равным двум. Это есть амплитуда колебания для х (а также для ). Траектории имеют вид спиралей, медленно приближающихся к предельному циклу (рис. 95); движение по координате х представляет почти гармоническое колебание с амплитудой, медленно возрастающей (или убывающей) до значения, равного двум (рис. 96).

2) Если имеет очень большое значение, то форму предельного цикла приближенно можно определить из геометрических соображений. В точках кривой

поле имеет горизонтальное направление. По мере удаления от кривой направление поля быстро приближается к вертикальному (поскольку велико), причем слева от вектор направлен вверх, а справа от I — вниз. Если изображающая точка начинает свое движение из точки слева от кривой в верхней полуплоскости (рис. 97), то сначала она движется почти вертикально вверх, а затем, приблизившись к кривой почти горизонтально. В точках кривой L (получаемой из кривой сдвигом ее вправо на небольшое расстояние) вектор поля принимает почти вертикальное направление (вниз), и изображающая точка остается в полосе между кривыми

Рис. 97.

Рис. 98.

Она движется почти что вдоль кривой пока не приблизится к крайней точке после чего перемещается почти что по вертикали вниз, пока вновь не достигнет кривой После пересечения с этой кривой вблизи точки изображающая точка опять почти что следует вдоль кривой пока не достигнет ближайшей окрестности точки Затем она, двигаясь почти вертикально, снова достигает кривой вблизи точки В результате при больших значениях предельный цикл оказывается весьма близким по форме к кривой состоящей из двух вертикальных отрезков и двух дуг кривой

Изменение у в зависимости от t в периодическом движении на предельном цикле показано на рис. 98. Время прохождения почти вертикальных участков мало, и так как то период а приближенно можно выразить следующей формулой:

Таким образом, приближенно а равно Таково приближенное значение периода предельного периодического движения, описываемого уравнением Ван-дер-Поля.