Глава I. ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

§ 1.1. Свободная материальная точка.

Движение свободной частицы (материальной точки) под действием заданной силы определяется вторым законом Ньютона, который можно выразить в традиционной форме:

качестве системы отсчета выбирается ньютонова, или инерциалъная система-, существование такой системы представляет основной постулат ньютоновой механики. в формуле (1.1.1) обозначает заданную силу, множитель массу частицы и ее ускорение (по отношению к выбранной системе отсчета). Если через х, у, z обозначить прямоугольные координаты частицы в момент отнесенные к осям, жестко связанным с системой отсчета, а через составляющие заданной силы вдоль этих осей, то движение частицы будет описываться уравнениями

эквивалентными (1.1.1).

В уравнениях (1.1.2) составляющие известные функции семи переменных: х, у, z; х, у, z; t. Эти функции определены в некоторой области семимерного пространства (х, у, z; х, у, z; t); в простейшем случае они заданы для всех вещественных значений этих семи переменных. Следует, однако, отметить, что задачи, в которых зависят от встречаются сравнительно редко, в большей части случаев эти функции зависят лишь от х, у, z; х, у, z. В еще более специальном, но часто встречающемся случае являются заданными функциями трех переменных: х, у, z. В этом случае говорят, что частица движется в силовом поле.

В ньютоновой системе отсчета прямоугольный триэдр осей находится в покое, и мы для краткости такие оси будем называть неподвижными. Если жесткий прямоугольный триэдр движется относительно неподвижных осей, то эти новые оси мы будем называть подвижными. Позже (§ 10.7) мы рассмотрим влияние движения осей на движение механической системы, каким оно представляется наблюдателю, связанному с движущимися осями.

В случае, когда новый триэдр движется относительно основного равномерно и без вращения, он определяет новую ньютонову систему отсчета. Уравнения движения сохраняют при этом свою форму (1.1.1) или (1.1.2), хотя выражения для теперь должны быть представлены через новые координаты, их первые производные и время. (В задаче трех тел, где действующие силы зависят только от их относительных положений, уравнения движения имеют одну и ту же форму в любой ньютоновой системе.)

Параметр в уравнениях движения есть положительная постоянная. Во всех случаях, когда не будет оговорено противное, будет предполагаться, что масса частицы остается неизменной во время движения. Позже, однако (в гл. XI), мы встретимся с задачами, в которых будет известной функцией скорости подобных задачах точки переменной массы

уравнения (1.1.2) заменяются следующими:

Уравнения движения (1.1.3) явно и однозначно выражают ускорения х, у, z как функции семи переменных: х, , дальнейшем мы увидим, что аналогичное положение сохраняется и в общей теории динамических систем. Для классической механики характерно, что с помощью уравнения движения ускорение выражается как явная функция положения, скорости и времени.

В случае движения свободной материальной точки все необходимые сведения динамического характера даются законом Ньютона. Задача сводится к интегрированию системы трех совокупных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Вторые производные входят в эти уравнения линейно.

Если функции принадлежат классу в области переменных (х, у, z; х, у, z; t), то уравнения определяют значения х, у, z в момент t, если для момента заданы значения переменных х, у, z; х, у, z. При этом точка принадлежит области и решение справедливо для некоторого интервала времени, содержащего момент В простейших случаях решение сохраняет силу для всех вещественных значений t.

Если ввести новые переменные

то три дифференциальных уравнения второго порядка (1.1.2) можно заменить шестью дифференциальными уравнениями первого порядка:

в которых являются теперь функциями Уравнения (1.1.5) можно записать в более компактной форме:

Здесь обозначает матрицу-столбец

матрицу-столбец

Строго говоря, между вектором X и матрицей-столбцом, элементы которой являются составляющими вектора, следует проводить различие, однако мы часто будем вектор и матрицу-столбец считать синонимами, и это не приведет к какой-либо путанице. Удобства ради мы иногда будем писать составляющие вектора в строку, а не вертикально и будем пользоваться фигурными скобками вместо круглых, чтобы подчеркнуть матричный характер вектора. Так, вместо мы можем написать а вместо

В дальнейшем нам часто будет встречаться уравнение вида (1.1.6). В общем случае будет обозначать вектор вектор Составляющие вектора X будут, вообще говоря, зависеть от переменных: Кратко это можно записать в виде Во многих случаях, однако (как это уже отмечалось в случае одной свободной частицы), переменная t не входит в выражение для X, т. е. В этом случае говорят, что система автономна.

Уравнения (1.1.2) определяют движение частицы в обычном пространстве. Аналогично, уравнения (1.1.5) определяют движение изображающей точки с координатами х, в пространстве шести измерений. Система (1.1.5) содержит шесть зависимых переменных, тогда как система (1.1.2) содержит три зависимые переменные. Важным преимуществом уравнений (1.1.5) является то, что положение изображающей точки шестимерном пространстве в момент определяет ее положение в момент по крайней мере для некоторого интервала значений включающего момент . В дальнейшем мы часто будем прибегать к подобного рода замене дифференциальных уравнений второго порядка уравнениями первого порядка.