§ 26.5. Принцип Фосса.

В принципе Гёльдера вариация представляет собой виртуальное перемещение в момент тогда как соответствующая точка проходится в момент Чтобы избежать этого положения, предпринимались попытки сформулировать вариационный принцип таким образом, чтобы было возможным перемещением в интервале времени Один из таких вариационных принципов приводится ниже.

Заметим сначала, что если обозначает возможное перемещение за промежуток времени возможную скорость в момент то

будет виртуальным перемещением. Доказательство следует немедленно. В самом деле, согласно (5.12.2) имеем

Следовательно,

так что (26.5.1) удовлетворяет условиям (5.12.5) для виртуального перемещения.

Рассмотрим теперь траекторию системы в -пространстве и варьированный путь. Точке на исходной траектории в момент t поставим в соответствие точку на варьированной траектории в момент Вычислим соответствующее приращение интеграла Имеем

Коэффициент при в подынтегральном выражении равен

откуда получаем

где через обозначено выражение Если теперь есть возможное перемещение за время то выражение будет определять составляющую виртуального перемещения и подынтегральная функция последнего интеграла в правой части равенства (26.5.4) будет равна нулю

в каждый момент времени. При этом

Если вариации в моменты выбрать равными нулю, то будем иметь

В этом заключается принцип Фосса. Для голономной системы полученный результат равносилен принципу Гамильтона в его второй форме (26.1.2).

Отметим поразительное сходство между формулой (26.5.5) и классической формулой (15.5.11) для вариации главной функции. Изучая в § 15.5 главную функцию, мы рассматривали изменение ее, связанное с переходом к соседней траектории системы; здесь же на вариацию не накладывается подобное ограничение. Поэтому ясно, что формула (15.5.11) представляет частный случай более общего результата (26.5.5).