§ 18.5. Квазипериодические движения.

Рассмотрим систему типа Штеккеля и остановимся более подробно на простейшем (и наиболее распространенном) случае, когда движение по каждой координате представляет собой либрацию. Будем предполагать, что коэффициенты не обращаются в нуль, а функции непрерывны. Каждое в начальный момент лежит между простыми вещественными нулями функции (предполагается, что и колебания происходят между пределами Возьмем в качестве нижнего предела интегрирования в формуле (18.2.19) для . В течение движения будем иметь

Знак радикала берется положительным, когда возрастает, и отрицательным, когда убывает. Согласно (18.2.22) имеем

и каждое является двузначной функцией от соответствующего характер этой зависимости показан на рис. 65. Движение изображающей точки в -пространстве совершается внутри прямоугольного параллелепипеда

Рис. 65.

Движение изображающей точки в фазовом пространстве происходит в области, получающейся путем расширения этого параллелепипеда за счет вычисляемых по формулам (18.5.2) (рис. 65). Движение этого типа называется квазипериодическим, ниже мы дадим объяснение этому термину. Рассмотрим преобразование лагранжевых координат к новым координатам определяемым уравнениями

или, более точно, уравнениями

Лагранжева координата лежит в интервале и при преобразовании координат предполагается, что каждое совершает колебание между пределами (как в действительном движении). Радикал берется положительным, если возрастает, и отрицательным, если убывает. Таким образом, оказывается неоднозначной функцией от и имеет дискретную систему значений, зависящую от траектории, по которой изображающая точка переходит из положения а в положение

Рис. 66.

Разберем простой пример. Положим и рассмотрим четыре траектории, соединяющие точки (рис. 66). Вдоль каждой из них возрастает от до Вдоль кривых возрастает монотонно от до и значение для них одинаково. Но для кривой 3 (где сначала возрастает от а затем убывает до отлично, как и для кривой 4 (где сначала возрастает до затем убывает до после чего снова возрастает до

Предположим теперь, что координата проходит полный цикл своих значений и возвращается в свою первоначальную точку, в то время как остальные координаты остаются неизменными. В этом случае получает приращение

которое можно записать также в форме

Таким образом, если получают приращения соответственно то мы возвращаемся к исходной точке -мерного параллелепипеда с теми же самыми скоростями. Функции

имеют свойство

Всего имеется таких систем периодов. Предположим, что эти системы линейно независимы, т. е. Тогда две точки пространства будут эквивалентны одной и той же точке пространства и даже одной и той же точке фазового пространства, если их относительные положения описываются одним из векторов (с составляющими Векторы линейно независимы. Более того, две точки -пространства эквивалентны одной и той же точке фазового пространства, если положение точки относительно описывается вектором где целые числа, положительные, отрицательные или нули.

Таким образом, можно разбить -пространство на периодические ячейки с узлами, определяемыми векторами для всех целых значений Ячейки обладают тем свойством, что конгруэнтные точки в двух любых ячейках представляют одну и ту же конфигурацию и одну и ту же скорость динамической системы. Соотношение между переменными и не является симметричным; так, например, если возрастает от до и затем убывает до (в то время как остальные координаты остаются неизменными), то в результате мы попадаем в другую точку -ячейки, представляющую ту же -точку, но с другой скоростью. Действительно, каждая точка параллелепипеда в -пространстве соответствует точкам в -ячейке, а каждая из этих -точек представляет одну из возможных систем скоростей. Мы видим, что -ячейка дает более точное представление движения, нежели параллелепипед в -пространстве, поскольку каждая точка в ней представляет как определенную конфигурацию системы, так и определенную скорость ее.

Так как конгруэнтные точки в различных -ячейках эквивалентны, то естественно сосредоточить внимание на рассмотрении одной стандартной ячейки и каждой точке -пространства поставить в соответствие конгруэнтную ей точку в стандартной ячейке. Будем считать, что одна из вершин стандартной ячейки расположена в начале координат (соответствующем точке а в -пространстве), а в качестве ребер, проходящих через эту вершину, возьмем векторы

Поясним сказанное простым примером, когда Движение изображающей точки в плоскости ограничено прямоугольником (рис. 49), и соответствующую изображающую точку в плоскости можно перенести в стандартную ячейку. Движение в плоскости описывается очень просто: изображающая точка движется с единичной скоростью параллельно оси

и различные отрезки этой линии нужно заменить на конгруэнтные отрезки в стандартной ячейке (рис. 67). Вообще говоря, они не перекрываются и с увеличением числа отображаемых отрезков покрывают стандартную ячейку все более и более плотно. Но если отношение есть число рациональное, то с течением времени отрезки будут проходиться повторно. В этом случае траектория в стандартной -ячейке будет состоять конечного числа отрезков, проходимых снова и снова; траектория в параллелепипеде -пространства будет замкнутой, периодической.

Рис. 67.

Позже мы получим общее условие периодичности, и тогда данный пример можно будет рассматривать как частный случай.