§ 28.2. Ограниченная задача. Уравнения движения.

Органиченная задача трех тел заключается в следующем. Частица А массы а и частица В массы движутся под действием сил взаимного притяжения. Центр масс обеих частиц движется равномерно и прямолинейно, так что без потери общности можно считать, что он находится в покое. Начальные условия таковы, что орбита частицы В относительно А представляет собой окружность с центром в А, следовательно, каждая частица движется относительно центра масс по окружности. Рассмотрим частицу пренебрежимо малой массы (так называемый планетоид); пусть эта частица совершает движение в одной плоскости с Мы будем считать, что она движется под действием притяжения частиц но ее собственная масса столь мала, что она не оказывает сколько-нибудь заметного влияния на движения Задача состоит в том, чтобы определить движение частицы

Рис. 113.

Возьмем вращающиеся оси с началом в точке и осью х, направленной вдоль прямой (рис. 113). Обозначим длину отрезка через I, а угловую скорость вращения — через со; величина со будет определяться по формуле

По отношению к вращающимся осям частица А будет находиться в покое в положении а частица В — в покое в положении где определяются по формулам

Не нарушая общности, можно принять, что Считая, что частица не влияет на движение частиц можем написать

где обозначает длину отрезка длину отрезка

Опуская положительный множитель можем написать

Функция имеет вид При отсутствии членов и То мы имели бы задачу о движении в поле притяжения двух неподвижных центров, рассмотренную нами в § 17.10 и далее. Заметим, что функция не содержит явно интеграл Якоби (6.8.3) имеет вид

Введем обозначение

где

Уравнения движения запишутся в виде

Эти уравнения показывают, что движение происходит так же, как движение частицы единичной массы в поле консервативных сил с потенциалом при наложенных гироскопических силах. Из интеграла Якоби (28.2.6) следует, что во все время движения следовательно, движение может происходить лишь при

где Поскольку

выражение для можно представить в переменных Тогда будем иметь

Полагая находим

Эта формула удобна для построения кривых . В областях можно и а принять за независимые переменные, но вдоль оси переменные и а связаны между собой. Если ось разделить на три части: то будем иметь