§ 13.16. Устойчивость вращающегося эллипсоида.

В качестве примера применения уравнений движения (13.15.13) рассмотрим задачу об эллипсоиде, вращающемся около своей оси а с угловой скоростью Спрашивается, при каких условиях это движение устойчиво по первому приближению относительно малых возмущений? Предполагая, что возмущенное движение мало отличается от невозмущенного, будем считать малыми величинами одного порядка, что позволит нам составить уравнения движения с необходимой степенью точности. Итак, пренебрегая членами второго порядка, будем иметь

Из первого уравнения (13.15.13) получаем так что будем предполагать, что равно значению в невозмущенном движении. Уравнения (13.15.9) теперь запишутся в форме

справедливой с принятой степенью точности.

С помощью этих уравнений и соотношения перепишем второе и третье уравнения движения в виде

где равно Период колебаний находится из уравнений

после исключения Проделав это, будем иметь

Достаточным условием устойчивости по первому приближению будет вещественность и положительность корней уравнения (13.16.5).

Прежде всего заметим, что оба корня не могут быть положительны, если не выполнено неравенство

так что должны быть либо одновременно положительны, либо одновременно отрицательны. Поэтому устойчивым может быть лишь вращение эллипсоида либо около короткой, либо около длинной оси.

1) Если а есть короткая полуось эллипсоида, то уравнение (13.16.5) можно представить в виде

где положительные числа, определяемые соотношениями

Достаточное условие устойчивости по первому приближению, таким образом, состоит в том, чтобы значения определяемые из уравнения (13.16.7), были вещественны и положительны. Коэффициент при в уравнении (13.16.7), разумеется, отрицателен, и требуемое условие сводится к неравенству

которое можно переписать в форме

а это последнее неравенство, как легко видеть, выполняется, и, следовательно, вращение эллипсоида около короткой оси устойчиво при всех значениях

2) Если а есть длинная полуось, то уравнение (13.16.5) можно представить в форме

где теперь

и положительные числа. Значения будут вещественны и положительны при выполнении следующих условий:

Последнее неравенство влечет за собой первое, так что для устойчивости достаточно, чтобы

Но так что движение будет устойчивым, если где

Итак, мы пришли к следующему результату. Если а есть меньшая из полуосей то движение устойчиво по первому приближению при всех значениях угловой скорости (как этого и следовало ожидать). Если а есть средняя полуось, то движение всегда неустойчиво. И наконец, если а — длинная полуось, то устойчивость имеет место для значений угловой скорости, превышающих некоторое критическое значение